Stelle die Funktion um:
\( \sqrt{a^2-y^2} =\sqrt{1-\frac{y^2}{a^2}} =\sqrt{1-\left(\frac{y}{a}\right)^2}\)
Dann substituierst du \(\frac{y}{a}=z\)!
Vergiss nicht die Integrationsvariable und die Grenzen mit zu substituieren.
Ich hoffe das hilft weiter.
LG Martin
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\(a\cdot \int_0^a \sqrt{1-\left(\frac{y}{a}\right)^2} dy =a\cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} \cdot a dz =a^2\cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz\) ─ maqu 17.12.2020 um 17:04
Wie mach ich weiter mit dem integral (sqrt(1-z^2)) ? ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:10
─ maqu 17.12.2020 um 17:14
─ maqu 17.12.2020 um 17:18
\(\int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2(\theta)} \cdot \cos(\theta) d\theta =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2(\theta)} \cdot \cos(\theta) d\theta =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) d\theta\) ─ maqu 17.12.2020 um 17:24
Damit ergibt sich:
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) d\theta =\dfrac{1}{2} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta\)
Wir kommen der Sache langsam näher :D ─ maqu 17.12.2020 um 17:28
\(\frac{dz}{d\theta} =\cos(\theta) \) genau dann wenn \(dz=\cos(\theta)\cdot d\theta\)
oder? ─ maqu 17.12.2020 um 17:30
\(\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta =\frac{1}{2} \cdot \left[\theta +\frac{1}{2} \sin (2\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{2} \cdot \left[ \left(\frac{\pi}{2} +\frac{1}{2} \cdot \sin(\pi)\right)-\left(0+\frac{1}{2} \cdot \sin(0)\right)\right] =\frac{1}{2} \cdot \left[ \left(\frac{\pi}{2} +0\right)-\left(0+0\right)\right] =\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4} \)
It's done :D ─ maqu 17.12.2020 um 17:38
\(\int_0^a \sqrt{a^2-y^2} dy =a^2 \cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz =a^2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta)d\theta =a^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta =a^2\cdot \frac{\pi}{4}\)
Mit zweimaliger Substitution und Additionstheorem. ─ maqu 17.12.2020 um 17:46
eine Sache is mir aber noch nicht ganz klar. Beim 1x Subsitutieren haben wir (u=y/a) dz/ dy = 1 / a auf dy umgeformt. (Logisch)
Beim 2x (u = sin(Theta)) haben wir dann du/dTheta (genau anders rum als beim 1x, da hatten wir neue "Variable / Alte" und jetzt "Neue/Alte") = cos(Theta)
Das war auch mein Fehler weshalb ich 1/cos(theta) dachte... Würd gern noch verstehen warum das so ist. (Falls das verständlich ausgedrückt ist) :DD ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:47
Achja ein Kollege hat es gerade alternativ geschafft statt dem Additionstheorem das Integral von cos^2(Theta) zu benutzten weil uns das bekannt ist (von ein paar Bsp davor).
Also gibts da mehrere Wege aber Danke Danke Danke!!! ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:53