Was davon sind lineare Abbildungen?

Aufrufe: 46     Aktiv: 02.06.2021 um 10:40

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Ich versuche gerade, das Thema lineare Abbildungen zu verstehen, aber kann es mir einfach nicht erklären, wie man nun erkennt, was eine lineare Abbildung ist und was nicht.

Es gibt ja den Vektor M, sodass gilt: f([x,y]^T) = M * [x,y]^T, aber was bringt mir diese Tatsache? Darf M nur aus den reellen Zahlen bestehen oder darf es auch Werte wie x oder y enthalten (und so zB aus 2x ein 2x² machen?

Bei diesen Gleichungen weiß ich nicht, ob es sich um eine lineare Abbildung handelt:


Vielen Dank im Voraus!
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3 Antworten
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Moin turborakete0411.

Ich weiß nicht genau, was du mit \(M\) meinst.
Generell muss für eine lineare Abbildung gelten:
1. Homogenität: \(f(ax) = af(x)\)
2. Linearität: \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)

Grüße
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Hi turborakete0411,

im Prinzip musst du nur überprüfen ob 2 Bedingungen erfüllt sind, wenn das der Fall ist, dann ist die Abbildung linear.
Ich habe auf meinem Kanal vor kurzem ein Beispielvideo zu linearen Abbildungen erstellt, vielleicht hilft es dir weiter. Ich habe es dir unten vorgeschlagen, wenn dir mein Kanal gefällt, dann lass gerne ein "Like" da oder abonniere ihn kostenlos, es weden noch viele Videos folgen. Du kannst ihn auch gerne an andere Personen weiterleiten:

https://www.youtube.com/channel/UCZW3SwMLrmoBfXu65RINXWw?sub_confirmation=1


Viel Erfolg 
Leibniz 1eague
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Mit \(M\) meinst und wahrscheinlich die Abbildungsmatrix von \(f\). Jede Funktion der Form \(f(x)=Mx\) ist dann linear. Das ganze kann man auch ganz einfach nachweisen. Überleg dir einfach bei welchen Abbildungen du eine solche Matrix angeben kannst. Beispielsweise bei der zweiten Abbildungen wäre \(M=(e_2,e_1)\)
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Student, Punkte: 3.53K
 

Genau das dachte ich mir nämlich auch. Ich kam auf die Idee, dass die 3. und 4. keine linearen Abbildungen sind, da sich bei 3. das x nicht einfach zu x² ändern kann und bei 4. funktioniert die Homogenität nicht. Oder liege ich da falsch?   ─   turborakete0411 02.06.2021 um 10:12

Genau, die dritte und die vierte sind nicht linear! Schau dir aber nochmal die erste genau an :D   ─   mathejean 02.06.2021 um 10:26

Es ist auch eine notwendige Bedingung, dass der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet werden muss. Wenn er das nicht tut, ist f nicht linear. So sieht man es bei der Vierten zumindest auf den ersten Blick, dass sie nicht linear ist.   ─   sorcing 02.06.2021 um 10:31

Ja, die vierte Abbildung ist "nur" affin linear :D   ─   mathejean 02.06.2021 um 10:40

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