Typologischer Raum abgeschlossen und kompakt

Aufrufe: 21     Aktiv: 27.04.2021 um 13:36

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Beweisen sie das Korollar:

Korollar: 
Sei X ein kompakter topologischer Raum und Y teilmenge von X abgeschlossener Unterraum, dann ist Y kompakt 

Beweis: 
In der Vorlesung wurde kompakt definiert als quasi kompakt und Haussdorf. Hausdorf ist klar, da ein Unterraum von einen Hausdorf Raum wieder Hausdorf ist. Aber wieso gilt, dass Y quasi-kompakt ist?
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Sei \(I\) eine Menge und \(U_i,i\in I\) eine offene Überdeckung von \(Y\). Dann ist $$(X\setminus Y)\cup\bigcup_{i\in I}U_i=X$$ eine offene Überdeckung von \(X\). Wegen der Kompaktheit von \(X\) gibt es eine endliche Teilüberdeckung, d.h. \(i_1,\ldots,i_n\in I\) mit $$X=(X\setminus Y)\cup U_{i_1}\cup\ldots\cup U_{i_n}$$ und somit $$U_{i_1}\cup\ldots\cup U_{i_n}\supseteq Y.$$ Damit haben wir zu einer beliebigen offenen Überdeckung von \(Y\) eine endliche Teilüberdeckung gefunden. Also ist \(Y\) kompakt.
Wie du siehst, braucht man in diesem Beweis nirgendwo, dass \(X\) hausdorff ist. Folglich gilt die Aussage auch, wenn man diese Voraussetzung fallen lässt.
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