Exponentielle Abnahme: Ötzis Todesjahr

Aufrufe: 1265     Aktiv: 01.03.2021 um 11:08

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Aufgabe: Die Atmosphäre enthält eine geringe Menge von radioaktivem Kohlenstoff(C-14). Da alle Lebewesen durch ihren Stoffwechsel ständig Kohlenstoff mit der Atmosphäre austauschen, findet sich in jedem lebenden Organismus derselbe C-14 Anteil. Stirbt ein Organismus, so sinkt der C-14 Anteil nach 5730 Jahren auf die Hälfe. Am 19.September 1991 entdeckten Wanderer in den Ötztaler Alpen einen Leichnam. Bei der Mumie Ötzi wurden noch 53% des ursprünglichen C-14 Anteils ermittelt. Bestimme Ötzis Todesjahr mithilfe einer Exponentialfunktion
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gefragt

 

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Was sind denn deine Ideen und Ansätze?   ─   1+2=3 28.02.2021 um 23:48

a= 1- 53:100= 47
1991= k×0,47^x /log047(1991
X=-10,06
Weiter komme ich leider nicht
  ─   laurinbischof2003 28.02.2021 um 23:53

mit welcher Gleichung/Formel arbeitest du denn? was sind a, k, X?
  ─   monimust 01.03.2021 um 00:14

F(x)= k×a^x
K= Anfangswert
a=Wachstumsfaktor
^x= Zeit
  ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 00:17

ok, die Verwendung der e-Funktion (falls du die schon kennst) ist üblicher und einfacher, aber so geht es auch. Kannst du auf die e-Funktion umschreiben oder bleiben wir beim a?   ─   monimust 01.03.2021 um 00:30

Bei a bleiben   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 00:32

bin in Antwort gewechselt :D   ─   monimust 01.03.2021 um 00:42
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du musst hier in zwei Schritten arbeiten, zunächst wird  a bestimmt. Dazu verwendest du die Halbwertszeit, die wird für x eingesetzt. Halbwertszeit bedeutet, vom Anfangswert (egal wie hoch der ist, daher kann man auch k stehen lassen) ist noch die Hälfte vorhanden. Kannst du diese Gleichung aufstellen und lösen?

Danach erst verwenden wir (auf die gleiche Weise) die 53%, jetzt kennen wir a  und rechnen die Zeit aus.

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wichtig, wenn du a ausrechnest, viele Kommastellen mitnehmen!   ─   monimust 01.03.2021 um 00:45

Aber ich hab doch den Anfangswert gar nicht wie soll ich dann bestimmen wie viel die Hälfte ist und die Gleichung aufstellen   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 00:49

Ist f(x)= k×a^0,5 richtig?   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 00:51

wie würdest du die Hälfte von k aufschreiben? du kannst aber auch einen Wert erfinden, es ist völlig egal.   ─   monimust 01.03.2021 um 00:52

du hast doch jetzt für x nicht die Zeit eingesetzt
  ─   monimust 01.03.2021 um 00:53

Also (0,5)= k×a^1991 ?   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 00:57

nicht irgendwie irgendwas rumprobieren, nur weil man nicht weiß, worauf das Ganze hinausläuft. du hast oben klar definiert, dass x die Zeit ist, also wird für x auch nur die Zeit eingesetzt. und du weißt, dass es um die Hälfte einer Anfangsmenge geht, also auch hier nur einsetzen, wo es passt. Mathe regelt alles von sebst (kaum zu glauben aber wahr :D)   ─   monimust 01.03.2021 um 00:58

Oder 0,5= k×a^5730 ?   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 00:58

lies mal die Antwort zwischendurch nach: Halbwertszeit einsetzen. und die Hälfte des Anfangswertes ist nicht 0,5 sondern 0,5k   ─   monimust 01.03.2021 um 00:59

Problem: du lieferst schneller einen neuen Vorschlag, als ich antworten kann. rechts stimmt es inzwischen, links muss noch nachgebessert werden.   ─   monimust 01.03.2021 um 01:01

Jz wurzel 5730 aus 0,5 ziehen?   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 01:01

Also f(x)= 0,5×a^5730   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 01:03

ja, wenn du links das k noch einfügst, kannst du durch k teilen (deswegen ist es völlig egal) und die Wurzel ziehen. Schreibe ein paar Kommastellen mehr auf.   ─   monimust 01.03.2021 um 01:03

Hä die Formel ist doch k×a^x   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 01:04

das war wieder falsch, links heißt links vom Gleichheitszeichen.
  ─   monimust 01.03.2021 um 01:04

stopp stopp stopp stopp. also ich schreibe du liest du schreibst ich lese ... klar?
  ─   monimust 01.03.2021 um 01:05

Also für irgendeine beliebige Zahl? Beispielsweise 5000= 0,5×a^5730   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 01:05

Ok schreib   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 01:06

Schritt zurück. deine Gleichung heißt f(x)= k*a^x. Für die Ermittlung der Halbwertszeit ist k egal, d.h. k stehen lassen oder eine Zahl erfinden. die Hälfte ist dann entweder k/2 oder die Hälfte der erfundenen Zahl.   ─   monimust 01.03.2021 um 01:08

Kannst du mir die Formel schreiben   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 01:12

Ich schreibe morgen früh wieder   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 01:13

du hattest doch schon fast alles richtig, fast, warst nur zu schnell mit den neuen Vorschlägen.
k/2 = k * a^5730 wäre eine Möglichkeit, oder wenn du für k 5000 einsetzen möchtest: 2500=5000*a^5730;
dann kann man dividieren und kommt links (vom =) auf 0.5 in beiden Fällen
und als nächstes die 5730te Wurzel ziehen, hattest du auch schon.
  ─   monimust 01.03.2021 um 01:17

Ich habe dann von 0,5 die 5730 Wurzel gezogen da kamm dan 0,9998790392 raus
Dann habe ich f(x)= k×0,9998790392^1991= Was muss ich für f(x) einsetzten?
  ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 09:30

die Frage ist nicht, wieviel % sind 1991 noch vorhanden, sondern gegeben SIND 53%, (Bei der vorigen Rechnung waren es 50%=1/2) . du hast a bereits und versuchst jetzt x herauszubekommen. wie wäre dann der Ansatz?   ─   monimust 01.03.2021 um 10:12

Also das eine beliebige Zahl bei der f(x) 53% von k sind?   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 10:14

ja, eleganter wäre es, k stehen zu lassen, du kannst aber auch was einsetzen (nur nicht Null), 1 wäre praktisch oder 100, dann siehst du auch gleich worauf es hinausläuft   ─   monimust 01.03.2021 um 10:18

Also = 53=100×0,9998790392^x?   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 10:31

jupp jetzt teilst du durch 100 und verstehst (hoffentlich) warum die gar nicht notwendig war. danach logarithmieren, ich hoffe dein TR kann das mit so einer Basis.   ─   monimust 01.03.2021 um 10:36

Ja ich erhalte x= 5248,31 das bedeutet Ötzi ist vor 5248,31 Jahren gestorben   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 10:56

Also 1991-5248= 3257 v.Christus   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 10:57

genau, jetzt noch von 1991 abziehen (da wurden ja die 53% ermittelt, heute wäre es schon weniger) und du kennst das Jahr v. Chr.   ─   monimust 01.03.2021 um 10:59

jetzt war ich wieder zu langsam   ─   monimust 01.03.2021 um 10:59

Vielen dank für die Hilfe!!!   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 11:04

wenn du mal das Todesjahr von Ötzi googelst, wirst du feststellen, dass man das so genau gar nicht feststellen kann, wie diese Aufgabe es scheinen lässt, aber der Bereich stimmt.   ─   monimust 01.03.2021 um 11:08

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Hier einmal ein Tipp: Exponentieller Zerfall, wird durch die Formel \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \), beschrieben, wobei hier in Deinem Fall N_0 die Anfangszahl der Kohlenstoffatome ist und \(\lambda \) die sogenannte Zerfallskonstante ist. Stelle die Formel nach N(t)/N_0 um und logarithmiere. Dann erhälts Du die sogenannte Halbwertszeit aus der dann \(\lambda \) folgt. Dann rechnest Du die Zeit aus, bei der N(t) noch 53% von N_0 sind.
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Lehrer/Professor, Punkte: 6.14K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Professorrs wurde bereits informiert.
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Exponentialfunktion für den radioaktiven Zerfall: N(t) = N(0) x 1/2^t: T1/2

geg: T1/2 C14 = 5730 a; N(t) = 53%; N(0) = 100%

ges: t
        
Rechnung:
Exponentialfunktion | N(t) = N(0) x 1/2^t:T1/2

Umstellen nach t | N(t) =  N(0) x 1/2^t:T1/2      | : N(0) | log | x T1/2

Umgestellte Fromel | t = log (N(t)/N(0)) / log (1/2) x T1/2 = t

Einsetzen | t = log (0,53/1) / log(1/2) x T1/2 = t

Ergebnis | t = 5248,31 a

Todesjahr | 3738 v. Chr. 

Antwort | Ötzi ist 3738 v. Chr. gestorben.





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5248-1991= 3257   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 10:58

Ja, Tippfehler.
  ─   phymat 01.03.2021 um 11:03

Ok   ─   laurinbischof2003 01.03.2021 um 11:04

echte Leistung, vollständig alles vorrechnen, während sich einer die Lösung erarbeitet und dann auch noch falscher Wert, Gratulation!   ─   monimust 01.03.2021 um 11:06

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