Bestimme die Sattelpunkte einer Funktion ?

Aufrufe: 387     Aktiv: 17.02.2021 um 16:17

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Es wäre nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich die Sattelpunkte einer Funktion bestimmen kann.
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Wenn man sich seine bisherigen Fragen so anschaut, kann man von Oberstufenmathematik und eindimensionalem Definitionsbereich ausgehen.   ─   el_stefano 17.02.2021 um 16:17
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1 Antwort
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Hey Leon,

man spricht im Allgemeinen von Sattelpunkten, wenn ein kritischer Punkt, d.h. 1. Ableitung gleich 0 (waagerechte Tangente) vorliegt, der allerdings kein Extremum ist. Das heißt, dass die 2. Ableitung an dieser Stelle ebenfalls gleich 0 sein muss.

Nun muss man noch auf die 3. Ableitung schauen und wenn die dann ungleich 0 an der Stelle ist, dann liegt in der Tat ein Sattelpunkt vor.

Diese Aussage lässt sich auch verallgemeinern, in dem man sich noch höhere Ableitungen anschaut. Da ich nicht weiß, was dein Backround ist, würde ich hier erstmal drauf verzichten, um keine Verwirrung zu stiften.

Beispiele für einen Sattelpunkt wäre die Funktion \( f(x) = x^3 \) an der Stelle \( x_0 = 0 \). Hier siehst du, dass alle Bedingungen erfüllt sind.
Im Vergleich dazu die Funktion \( f(x) = x^4 \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) erfüllt ebenfalls die beiden ersten Bedingungen, jedoch ist auch da die 3. Ableitung an der Stelle 0 und somit liegt dort kein Sattelpunkt, sondern ein Extremum vor.

Ich hoffe das klärt deine Frage.

VG
Stefan
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