Äquivalenz zu $ \operatorname{dim}_{K} V=\infty$ zeigen

Erste Frage Aufrufe: 137     Aktiv: 21.05.2022 um 15:49

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Hallöchen. Ich soll zeigen, dass für einen Vektorraum \( V \) über einem Körper \( K \) die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) \( \operatorname{dim}_{K} V=\infty \)
(ii) Es existiert eine Folge von Vektoren \( \left(\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}, \cdots \in V\right) \), sodass für jedes \( n \in \mathbb{N} \) die Familie \( \left\{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \ldots, \mathbf{v}_{\mathbf{n}}\right\} \) linear unabhängig ist.
(iii) Es existiert eine Folge von Vektoren \( \left(\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}, \cdots \in V\right) \), sodass die gesamte Familie \( \left(\left\{\mathbf{v}_{\mathbf{i}} \mid i \in \mathbb{N}\right\}\right) \) linear unabhängig ist.
(iv) Zu jedem \( n \in \mathbb{N} \) gibt es eine linear unabhängige Familie von \( n \) Vektoren in \( V \).

Dazu habe ich allerdings noch ein paar Probleme/Fragestellungen:
Also methodisches Vorgehen ist klar, würde das ganze gerne via einem Ringschluss lösen. Allerdings bräuchte ich mal ein wenig Hilfe:
(i) \( \Rightarrow \) (ii): Die \( \operatorname{dim}_{K} V=\infty \), nach Definition der Demension existiert kein \( \mathrm{m} \), sodass die Länge der Basis gleich \( \mathrm{m} \) wäre. Daraus folgt die Basis ist unendlich. Da es sich ja immernoch um eine Basis handelt, sind bilden die Vektoren \( \left\{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \ldots, \mathbf{v}_{\mathbf{n}}\right\} \) ein EZS und sind linear unabhängig. Aus letzterem würde dann (ii) folgen.
(ii) \( \Rightarrow \) (iii): Hier sehe ich irgendwie nicht wirklich einen unterschied zur (ii) Behauptung. Ob ich jetzt sage, dass gilt für jedes \( n \in \mathbb{N} \) oder das ist die gesamte Familie oder doch die gleiche Aussage, oder nicht? Oder bezieht sich die (ii) Aussage auf eine endliche Familie und die (iii) auf eine unendliche?
(iii)  \( \Rightarrow \) (vi): Hier sehe ich halt auch keinen wirklichen Unterschied zur (ii) und habe auch keine Idee was man da beweisen soll. Wenn schon die gesamte Familie linear unabhängig ist, dann kann ich doch auch ne endliche Teilmenge nehmen, die immernoch linear unabhängig ist, oder nicht?
(vi) \( \Rightarrow \) i): Bräuchte ich hier nicht eigentlich noch Wissen, ob das ganze auch ein EZS ist, sonst kann ich doch gar nicht wissen ob das eine Basis bildet. Und selbst wenn, die Familie hat \( n \) Vektoren, dann ist doch die Dimension nach Definition: \( \operatorname{dim}_{K} V=n \) oder nicht?

Ich weiß das sind relativ viele Fragen, ich hoffe trotzdem, dass mir jemand behilflich sein kann.
LG Harry
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Erstmal sehr gute Arbeit!

(i) \(\Rightarrow\) (ii) Es ist eben für kein \(n \in \mathbb{N}\) die Menge \(\{v_1,\ldots, v_n\}\) eine Basis von \(V\). Sicher habt ihr gezeigt (mit Auswahlaxiom), dass jeder Vektorraum eine Basis hat, die können wir, dann als \(\{v_i | i \in I\}\) schreiben, wobei \(I\) hier eine unendliche Indexmenge ist, wir finden also eine injektive Abbildung \(\iota: \mathbb{N } \to I \). Durch \((v_{\iota(n)})_{n \in \mathbb{N}}\) ist dann eine solche Folge konstruiert.

(ii) \(\Rightarrow \) (iii) Ja, hier ist nur kleiner Unterschied,  weil hier gesagt wird, die ganze Familie ist linear unabhängig. Schau dir hierzu mal die Definition von linearer Unabhängig an (Tipp: nur endliche Linearkombinationen)

(iii) \(\Rightarrow \) (iv) Betrachte die Folge \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) aus (iii)  und betrachte für festes \(n \in \mathbb{N}\) die Familie \((v_1,\ldots, v_n)\).

(iv) \(\Rightarrow\) (i) EZS brauchst du nur prüfen, wenn du eine Basis angibst. Versuch es über einen Widerspruchsbeweis (es ist sehr einfach)
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Vielen Dank erstmal. Das beantwortet ein paar Fragen, wirft aber auch neue auf:
$(i) \Rightarrow (ii)$: Woher stammt jetzt auf einmal $I$ als unendliche Indexmenge? Wie folgere ich aus der Existenz der Abbildung \( \iota: \mathbb{N} \rightarrow I \) mit \( \left(v_{\iota(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), dass die Familie $\{v_1,...,v_n \}$ auch linear unabhängig ist?

$(ii) \Rightarrow (iii)$: Ich denke ich habe den Unterschied verstanden: Die Bedingung (ii) sagt, dass $\{v_1 \}$ linear unabhängig ist, $\{v_1,v_2 \}$ linear unabhängig ist, $\{v_1,v_2, v_3 \}$ linear unabhängig ist usw. . (iii) Sagt mir, dass z.B. auch $\{ v_1,v_4, v_7 \}$ linear unabhängig ist. Ich weiß aber nicht wirklich wie ich da die Folgerung beweisen soll.

$(iii) \Rightarrow (vi)$: Eine kleinde Idee, weiß nicht, ob sie stimmt: Jede Teilfamilie einer linear unabhängigen Familie ist wieder linear unabhängig. Dann kann ich mir doch zu jedem $n$ eine Teilfamilie $V_n$ mit $V_n \subset \{v_i | i \in \mathbb{N} \}$ und $|V_n| = n$ wählen, die immernoch linear unabhängig ist und $n$ Vektoren enthällt.

$(vi) \Rightarrow (i)$: Angenommen $dimV< \infty$. Nach Vorraussetzungen gibt es zu jedem $n \in \mathbb{N}$ eine linear unabhängige Familie. D.h. jede Basis ist unendlich erzeugt, aber das steht im Widerspruch zu $dimV< \infty$.

Ich hoffe mal, dass die Beweisideen irgendwie sinnvoll sind.
LG
  ─   harry01 21.05.2022 um 15:12

(vi) \(\Rightarrow\) (i) sehr gut, dass stimmt. Um das wesentliche aber zu betonen. Angenommen \(\dim V=k <\infty \). Nach Voraussetzung gibt es aber zu \(n=k+1\) eine linear Unabhägige Familie. Woraus folgt \(\dim V\geq n =k+1\).

(i) \(\Rightarrow\) (ii) ist sehr technisch, deswegen habe ich auch gelöst. Man braucht Auswahlaxiom um zu zeigen, dass es eine Basis gibt, man arbeitet mit partiellen Ordnung auf Basismengen und nutzt z.B. Lemma von Zorn. Am besten schaust du dir hier nochmal den Beweis aus VL an. Letztendlich finden wir aber eine Basis und diese können wir dann auch indizieren durch eine Indexmenge \(I\), sie ist unendlich, weil sonst Dimension nicht unendlich wäre. Die Familie \((v_{\iota(n})_n \) ist linear Unabhängig, weil sie nur Elemente aus der gewählten Basis enthält.

(ii) \Rightarrow (iii) (ii) hast du richtig gesehen, bei (iii) geht es aber um unendlich viele Vektoren. Prüfen wir aber auf lineare Unabhängig, so bilden wir nur endliche Linearkombinationen, dass sind dann Linearkombinationen in einer der Familien aus (ii)

(iii) \(\Rightarrow \) (iv) Ja, das ist richtig, sehr gut! Wenn du in meine Antwort schaust, habe ich dir so eine Familie explizit angegeben
  ─   mathejean 21.05.2022 um 15:49

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