Größter gemeinsamer Teiler

Aufrufe: 209     Aktiv: 11.11.2023 um 16:39

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Hi, danke im Voraus. Ich verstehe hier garnichts, wie soll ich das machen? Ich hab nur dass (b) falsch ist.

  1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Geben Sie jeweils eine Begründung ihrer Entscheidung mittels eines Beweises oder eines Gegenbeispiels an.

    (a) Wenn eine ungerade ganze Zahl ist, dann sind und + 2 teilerfremd. (b) Für alle a,b,c Z\{0} gilt: ggT(a,b+c)=ggT(a,b)+ggT(a,c).

    (c) Für alle a,b,c Z\{0} gilt: ggT(a,b·c)=ggT(a,b)·ggT(a,c).
    (d) Für alle ganzen Zahlen 
    gilt die Ungleichung ggT(n+ 1, n − 1) 4.

    (e) Für alle a,b,c N gilt: ggT(a·b,b·c)=b·ggT(a,c).

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Student, Punkte: 12

 

„Danke im Voraus“, das hier ist keine Aufgabensammeldatenbank mit künstlicher Intelligenz zum lösen. Wir helfen dir gerne, liefere dazu doch bitte eigene Gedanken mit. In der Aufgabe stehen die Operatoren klar auf Entscheide und Begründe. Also entscheide doch zunächst nach Bauchgefühl und versuche es dann zu begründen. Oft helfen kleine Zahlenbeispiele um schnell ein Gegenbeispiel zu finden. Im Übrigen hast du noch einige Fragen die anscheinend nicht zu deiner Zufriedenheit beantwortet wurden. Falls doch so markiere diese bitte entsprechend (gern auch rückwirkend). Wenn du das alles beherzigst, bekommst du bestimmt schnell die Hilfe die du auch brauchst.   ─   maqu 11.11.2023 um 13:55

Schade, also das war mir völlig unklar. Vielen Dank für die Hilfe. Dank deiner Ansätze verstehe ich die Aufgabe :)   ─   totems 11.11.2023 um 15:39
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1 Antwort
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Servus,
Ich helfe dir mal bei a):
Mein Ansatz wäre einen Widerspruchsbeweis zu verwenden.
Es gilt, dass n eine ungerade Zahl ist, heißt n= 2k+1 (mit k element natürlicher Zahlen). Das ist quasi deine Voraussetzung.
Nun ist die Behauptung, dass n und n+2 teilerfremd sind. Heißt, dass eine Zahl gibt (z.B. s mit s Element natürlicher Zahlen), wo gilt, s|n, aber s|n+2 ist nicht wahr (also s teilt n, aber nicht n+2).
Um dies zu beweisen, ist hier ein Widerspruchsbweis (indirekter Beweis) relativ passend.
Nehme also an, dass s doch ein Teiler von von n und n+2 ist.
Dann folgt für n, n=s*h (h Element natürlicher Zahlen)
Umgeschrieben hast du also, (n=2k+1):
n= 2k+1 = s*h, und n+2 = 2k+1+2 = 2k+3=s*h.
Letztlich kannst du n und n+2 gleich setzen und dann hast du einen Widerspruch.

PS.: bin gerade in der S-Bahn, weshalb kann es sein, dass es nicht 100% richtig ist. Dennoch viel Glück ;)
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