Gleichung lösen (für Primzahlen)

Erste Frage Aufrufe: 62     Aktiv: 28.10.2021 um 21:11

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Die folgende Aufgabe ist Teil einer alten Mathe-Olympiade (2015) (Quelle: https://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/55/2/A55102.pdf). Ich hoffe, dass ich diese Aufgabe hier stellen darf:

x^2+y^3 = z^4 

Wobei x, y und z Primzahlen sind.

Es ist nicht sicher, ob es dafür überhaupt eine Lösung gibt. Ich würde mich über einen Weg abseits von systematischem Ausprobieren freuen.

Vielen Dank.
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1 Antwort
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Hallo,
da die linke Seite für Primzahlen >2 gerade ist, würde dies bedeuten, dass z=2, dann folgt: \(16=x^2+y^3\). Man sieht, dass es hier keine Lösungen gibt. Deshalb muss entweder x oder y 2 sein. Wenn x=2 folgt \(y^3=z^4-4\), faktorisieren: \(y^3=(z^2-2)(z^2+2)\). \(y^3\) faktorisiert: \(1\cdot y^3\) oder \(y\cdot y^2\). Jetzt muss man die 2 Fälle checken: 1.Fall: \(1=z^2-2\) und \(y^3=z^2+2\). Auch hier gibt es keine Lösungen. 2.Fall: \(y=z^2-2\) und \(y^2=z^2+2\) hier kann man den zweiten Term faktorisieren und erhält ebenfalls keine Lösungen, es gibt also keine Lösungen für x=2 oder z=2. Letzte Möglichkeit: y=2: dann folgt \(8=(z^2-2)(z^2+2)\). Auch hier kann man 8 faktorisieren und erkennt, dass es keine Lösungen gibt. Das Problem hat also keine Lösungen. Deutlich interessanter wäre es für x als natürliche Zahl.
LG
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hast du damals an der Olympiade teilgenommen, oder machst du das jetzt als Übung?   ─   fix 28.10.2021 um 20:56

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Vielen Dank!!   ─   usera92591 28.10.2021 um 20:59

Ich hab mir eben ein altes PDF rausgesucht und mich an den Aufgaben probiert, die am Abstraktesten waren - also ja, als Übung.   ─   usera92591 28.10.2021 um 21:11

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