Hallo,
da die linke Seite für Primzahlen >2 gerade ist, würde dies bedeuten, dass z=2, dann folgt: \(16=x^2+y^3\). Man sieht, dass es hier keine Lösungen gibt. Deshalb muss entweder x oder y 2 sein. Wenn x=2 folgt \(y^3=z^4-4\), faktorisieren: \(y^3=(z^2-2)(z^2+2)\). \(y^3\) faktorisiert: \(1\cdot y^3\) oder \(y\cdot y^2\). Jetzt muss man die 2 Fälle checken: 1.Fall: \(1=z^2-2\) und \(y^3=z^2+2\). Auch hier gibt es keine Lösungen. 2.Fall: \(y=z^2-2\) und \(y^2=z^2+2\) hier kann man den zweiten Term faktorisieren und erhält ebenfalls keine Lösungen, es gibt also keine Lösungen für x=2 oder z=2. Letzte Möglichkeit: y=2: dann folgt \(8=(z^2-2)(z^2+2)\). Auch hier kann man 8 faktorisieren und erkennt, dass es keine Lösungen gibt. Das Problem hat also keine Lösungen. Deutlich interessanter wäre es für x als natürliche Zahl.
LG