Hilfe bei Ungleichung

Aufrufe: 59     Aktiv: 09.05.2022 um 17:29

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Hey, ich muss für eine Aufgabe folgende Ungleichung lösen. Steh auch nach längerem herumprobiern ziemlich auf der Leitung.
$$x^4+y^4+6x^2y^2-2x^2-2y^2+1\geq0$$

Danke für die Hilfe!
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Student, Punkte: 27

 

Wie lautet denn die Aufgabenstellung im Original? Ohne die kann man schlecht helfen.   ─   mikn 09.05.2022 um 15:59

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Gegeben ist die Differentialgleichung $x'=x^2+y^2-1, y'=2xy$. Unterpunkt der Aufgabe: "Zeigen Sie: Das Vektorfeld ist ein Gradientenfeld. Geben Sie (mit Begründung) eine skalare Funktion $F(x,y)$ an, für die gilt
$$\frac{d}{dt}F(x(t),y(t))\geq0$$."

Was ich gemacht habe: $\frac{d}{dy}[x^2+y^2-1]=2y$, $\frac{d}{dx}[2xy]=2y$ was impliziert, dass es ein Gradientenfeld ist.
Auf $F(x,y)$ komme ich, wenn ich $\int x^2+y^2-1 dx=\frac{x^3}{3}+xy^2-x + t(y)$, $\int 2xy$ $dy = xy^2+g(x)$ rechne. $F(x,y) = \frac{x^3}{3}+xy^2-x$.

Um $\frac{d}{dt}F(x(t),y(t))\geq0$ zu zeigen leite ich $F(x,y)$ ab was $\frac{d}{dt}F(x(t),y(t))=x(t)^2x'(t)+x'(t)y(t)^2+2x(t)y(t)y'(t)$ ergeben sollte. Wenn man noch $x'(t)$ und $y'(t)$ von der Angabe einsetzt kommt man auf die Ungleichung $x(t)^4+y(t)^4+6x(t)^2y(t)^2-2x(t)^2-2y(t)^2+1\geq0$.
  ─   grammel 09.05.2022 um 16:57
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1 Antwort
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Ok, das sieht doch schon mal ganz anders aus, und sogar in LaTeX, sehr schön.
Nun zur Rechnung: In Deinem $\frac{dF}{dt}$ fehlt ein $-x'(t)$. Und wenn Du dann nicht die Ableitungen ersetzt, sondern alles andere, also die rechten Seiten der Dgl (die tauchen da nämlich auf) durch die Ableitungen, dann erhält man $\frac{dF}{dt}(x(t),y(t))=(x'(t))^2+(y'(t))^2\ge 0$.
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Vielen Dank, super!   ─   grammel 09.05.2022 um 17:29

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