Bedeutung Nenner Kombinatorik

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Kann mir jemand erklären, was bei die Bedeutung des Nenners in der untersten Rechnung ist?

Aufgabe:


Lösung:

EDIT vom 31.07.2022 um 20:44:

Besser gesagt warum gibt es hier überhaupt einen Nenner und wie kommt der zustande? bei der Berechnung mit einer Verteilungsrunde gibt es ihn nicht?
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2 Antworten
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Bei der zweiten Variante gibt es einen Nenner, weil du sonst doppelte Verteilungen hast. 

Es ist $\frac{10!}{5!\cdot 5!}=\binom{10}{5}$, also die Anzahl der Möglichkeiten 5 aus 10 auszuwählen. Und das ist für jeden Spieler die Anzahl der doppelten Verteilungen, denn jeder Spieler bekommt erst 5 Karten und dann nochmal 5 Karten. Jetzt gibt es aber eben $\binom{10}{5}$ Möglichkeiten, welche 5 Karten er zuerst bekommt.
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Selbstständig, Punkte: 23.73K

 

Vielen Dank für die Antwort. Ich bin nicht sicher, ob ich es komplett verstanden habe. Zuerst ist die Einsicht, dass bei der ersten Varianten nichts im Nenner steht, da man ja 10 Karten aus 10 Karten zieht und es somit nur 1 Möglichkeit gibt. "doppelt" verstehe ich noch nicht ganz. Bei der ersten Verteilungsrunde gibt es 252 Möglichkeiten (da 5 aus 10) und bei der zweiten Verteilungsrunde nur noch 1 Möglichkeit (da 5 aus 5)? Kann es mir noch nicht richtig vorstellen..   ─   nas17 vor 6 Tagen, 13 Stunden

Es geht hier um die Reihenfolge, wie ein Spieler die Karten bekommt. Wenn er direkt 10 Karten bekommt, spielt das aber keine Rolle. Wenn er jedoch erst 5 Karten bekommt, gibt es $\binom{10}{5}$ Möglichkeiten, 5 dieser 10 Karten zu bekommen. Am Ende hat er aber dennoch die gleichen 10 Karten als wenn er direkt 10 Karten bekäme.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 12 Stunden

Langsam verstehe ich es. Kurze Annahme: Falls ich als Spieler 12 Karten erhalten würde und es 3 Verteilungsrunden mit jeweils 4 Karten gäbe. Wäre dann der Nenner wie folgt: (12 tief 4) * (8 tief 4) * (4 tief 4). Der letzte Faktor wäre irrelevant da er ja 1 ergibt, habe ihn jetzt der Vollständigkeit halber dazugeschrieben :) Begründung: Zuerst gibt es 495 Möglichkeiten, 4 aus 12 zu erhalten, dann nur noch 70 Möglichkeiten, 4 aus 8 zu erhalten und bei der letzten Runde gibt es nur noch die eine Möglichkeit 4 aus 4 zu erhalten   ─   nas17 vor 6 Tagen, 12 Stunden

Meinst du jetzt den Nenner oder Zähler?   ─   cauchy vor 6 Tagen, 12 Stunden

Ich meine den Nenner. :)

Habe gerade beim genauen Hinschauen gesehen, dass im Nenner noch eine hoch 3 für die Anzahl Spieler steht. Demnach würde mein eigenes Beispiel nicht korrekt sein?
  ─   nas17 vor 6 Tagen, 11 Stunden

@cauchy: Wäre mein Beispiel im Nenner ansatzweise korrekt?   ─   nas17 vor 5 Tagen, 13 Stunden

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Ja, für einen Spieler. Das ganze müsste man dann noch entsprechend für die anderen Spieler hinzunehmen.   ─   cauchy vor 5 Tagen, 12 Stunden

Bei beispielsweise 6 Spieler noch ganzer Term im Nenner hoch 6? :)   ─   nas17 vor 5 Tagen, 12 Stunden

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Genau.   ─   cauchy vor 5 Tagen, 12 Stunden

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Ich würde so rechnen:
Teile die 32 Karten aus und lege sie nebeneinander: die ersten 10 sind die von Spieler 1, die zweiten.., die dritten..., der Skat.
Dafür gibt es 32! Möglichkeiten, diese anzuordnen.
Nun ist aber für ein Blatt (die 10 Karten eines Spielers) die Reihenfolge seiner 10 Karten egal, es bleibt ja dasselbe Blatt. Diese sind also bei der Anordnung zuviel gezählt. Also muss noch durch die 4 Anzahlen pro Blatt (Spieler 4 ist der Skat) dividiert werden.
Ergebnis: $\frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10! \cdot 2!}=2.75...\cdot 10^{15}$.
Die Reihenfolge beim Austeilen ist natürlich egal, weil die Blätter ja erst am Ende ausgewertet werden.
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Lehrer/Professor, Punkte: 26.65K

 

Gute Veranschaulichung mit dem "nebeneinanderlegen"! Konnte den Lösungsweg nachvollziehen. :)
Habe in der Kombinatorik manchmal Mühe, nur den Lösungsweg zu entschlüsseln ohne Hintergrundinformationen zu haben.
  ─   nas17 vor 6 Tagen, 11 Stunden

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Letztendlich ist dieser Ansatz genau dasselbe, was bei der b) als erstes gerechnet wurde. Wenn man die Binomialkoeffizienten ausschreibt, kommt man auf genau den Ausdruck dieser Antwort. Man sieht hier aber dann natürlich schön, dass die Art des Verteilens keine Rolle spielt.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 6 Stunden

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