Invertierbare Funktionen/Satz über Umkehrabbildung

Aufrufe: 829     Aktiv: 11.06.2020 um 13:39
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Sei \(n\) ∈ \(N\). Bezeichne mit \(B_{1}\) := {\(x ∈ R^{n} : |x| < 1\)} die offene Einheitskugel. Sei \(f\) ∈ \(C^{1}\) \((R^{n} , R^{n})\) mit \(f(x) = x\) für alle \(x ∈ R^{n}\) \ \(B_{1}\) und \(Df(x)\) invertierbar. Zeigen Sie:

(a) \(f(B_{1})\) ⊂ \(B_{1}\) (hier ist die Abschlusmenge von \(B_{1}\) gemeint) und \(f(B_{1})\) ⊂ \(B_{1}\)

(b) \(f(B_{1})\) = \(B_{1}\)

 

Wir hatten den Satz über die Umkehrabbildung. Weiß jemand wie man den hier richtig anwenden muss???

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Student, Punkte: 14

 
Ich denke, dass man hier den Satz über die Umkehrabbildung anwenden muss. Nach Banachschem Fixpunktsatz sieht mir das nicht aus.   ─   digamma 10.06.2020 um 11:31
Ach ja stimmt, ich war vom Kopf her noch in der vorherigen Aufgabe und habe aus versehen den falschen Satz notiert. Ich bin den Satz über die Umkehrabbildung mehrere Male durchgegangen aber komme nicht ganz drauf, zumal im Hinweiß zu (a) steht dass man x → |f(x)|^2 auf lokale Maxima untersuchen soll.   ─   jlkkm17 11.06.2020 um 07:52
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Wenn `f(B_1)` nicht in \(\overline B_1\) liegt, dann gibt es einen Punkt `x in B_1` mit \(f(x) \in \overline B_1\) , also `|f(x)|^2>1`. Dann besitzt `|f|^2` in `B_1` irgendwo ein lokales Maximum an einer Stelle `x_0`. Dort ist die Ableitung gleich 0. Wenn man das ausrechnet sollte das zu einem Widerspruch dazu führen, dass `Df(x_0)` invertierbar ist.

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