Polynom als Folge ungleich 0

Aufrufe: 58     Aktiv: 25.11.2021 um 21:59

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Moin, ich soll folgendes zeigen. Als Tipp gab es n gegen unendlich konvergieren zu lassen. Das reicht aber doch nicht oder?
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Wenn man nur sagt $n\to\infty$ reicht das natürlich nicht. Man muss dann schon schauen, wogegen (wenn überhaupt) Q(n) konvergiert und was das mit der Aufgabe zu tun hat.
Wie fast immer in der Mathematik, kann man mal mit einfachen konkreten Beispielen anfangen. Nimm ein Polynom vom Grad 2, rechne den Grenzwert aus und vor allem: skizziere den Verlauf und überlege, wie man die nachzuweisende Aussage an der Skizze ablesen kann. Probiere weitere Beispiele. Auf geht's.
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Naja da kommt immer eine Funktion raus, die in positive x Richtung nach oben geöffnet ist. Also gegen unendlich strebt. Stehe aber komplett auf dem Schlauch wie ich ungleich 0 jetzt beweisen soll. Die Aussage ist mir recht klar, aber der Beweis halt nicht.   ─   max.m 25.11.2021 um 16:40

Dann such auch mal Beispiele, die für $x>0$ nicht nach oben geöffnet sind. Und Q(n) strebt NICHT gegen 0 für $n\to\infty$. Denk das nochmal genau durch. Erst wenn das wirklich klar ist, macht es Sinn, an den Beweis zu denken.   ─   mikn 25.11.2021 um 16:46

Sobald der Faktor vor dem Polynom mit dem höchsten Grad negativ ist (0 ist ja ausgeschlossen hier), das war mir aber auch bewusst, stehe trotzdem etwas auf dem Schlauch. Das Q(n) nicht gegen 0 sondern ∞ strebt wenn der Graph nach oben geöffnet ist, stimmt natürlich, da hatte ich mich verschrieben   ─   max.m 25.11.2021 um 17:52

Wir wissen also $\lim\limits_{x\to \infty} Q(n) = \infty$ (oder $-\infty$, den Fall kann man später betrachten). Jetzt schaust Du in Deinen Unterlagen nach, was das formal heißt, "uneigentlicher Grenzwert" o.ä., das Pendant zu "für alle epsilon gibt es....$. Das schreibst Du Dir unter die Beh. und vergleichst.   ─   mikn 25.11.2021 um 21:58

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