Gegeben ist eine Funktion, die durch 5 Punkte geht. Nun sollen dort 3 Parabeln knickfrei eingepasst werden, die die Funktion annähern.
Die Punkte sind: A(0|0) - B(2|1,4) - C(4|2,1) - D(6|2) - E(8|1,6).
Die 3 Parabeln sollen folgendermaßen angelegt werden: P1 durch ABC, P2 durch C und D, P3 durch D und E.
Die Parabel durch die ersten 3 Punkte konnte ich problemlos errechnen (überprüft mit Online-Rechner, Plot passt auch): f(x) = -0,0875x² + 0,875x
Bei den anderen Parabeln habe ich auch etwas herausbekommen. Wenn ich die jedoch plotte, passt es hinten und vorne nicht, sie liegen falsch, auch die Steigungen passen nicht, die müssten ja an den Übergangsstellen gleich sein für eine knickfreie Anbindung.
Meine (falschen?) Lösungen sind:
Parabel durch C und D: f(x) = 0,096x² + 0,141x
Parabel durch D und E: f(x) = -0,067x² - 0,067x
Was habe ich übersehen? Gibt es ein Schema zur Berechnung solcher Anbindungen? Muss ich Wendepunkte aus der Ursprungsfunktion mit einbeziehen?
Danke für jeden Tipp!
Punkte: 16
2,1 = 16a + 4b | *(-1,5)
2 = 36a + 6b
-24a - 6b = -3,15
36a + 6b = 2 |beide Gleichungen addieren
12a = -1,15 => a = -0,096
a eingesetzt ergibt b = 0,141
─ userd7870b 15.06.2022 um 09:34
Was muss ich für c einsetzen? ─ userd7870b 15.06.2022 um 09:46
1) \(P_2(4)=2,1\)
2.)\(P_2(6)=2\)
3\) \(P_1`(4)= P_2`(4)\) ─ scotchwhisky 15.06.2022 um 11:13
Leite die Funktion ab und setz dann in die Ableitung x=4. Das ist die Steigung im Punkt C.
Den Wert nimmst du dann für die 3.) Gleichung ─ scotchwhisky 15.06.2022 um 11:25
─ userd7870b 15.06.2022 um 11:33
Jetzt bildest du die Ableitung von \(P_2(x) =ax^2+bx+c\) und setzt dann in \(P_2`(x)\) für x die 4 ein.
Dann steht da 0,175 = 2a*4+b ─ scotchwhisky 15.06.2022 um 11:37
─ userd7870b 15.06.2022 um 11:46
Du müsstest jetzt ein Gleichungssystem haben mit 3 Gleichungen für 3 Unbekannte (a, b, c) ─ scotchwhisky 15.06.2022 um 11:51
Wenn ich jetzt eine weitere Parabel dahinter knickfrei anbinden möchte, muss ich dann von den Koordinaten des nächsten Punktes E ausgehen? (Punkte stehen oben) ─ userd7870b 15.06.2022 um 11:58
\(P_2\) und \(P_3\) stimmen bei Punkt D überein.
Gleiches Prinzip wie eben. ─ scotchwhisky 15.06.2022 um 12:47