Parabeln knickfrei verbinden?

Aufrufe: 107     Aktiv: 15.06.2022 um 12:47

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Ich hänge bei einem Aufgabenteil fest:
Gegeben ist eine Funktion, die durch 5 Punkte geht. Nun sollen dort 3 Parabeln knickfrei eingepasst werden, die die Funktion annähern.
Die Punkte sind: A(0|0) - B(2|1,4) - C(4|2,1) - D(6|2) - E(8|1,6).
Die 3 Parabeln sollen folgendermaßen angelegt werden: P1 durch ABC, P2 durch C und D, P3 durch D und E.

Die Parabel durch die ersten 3 Punkte konnte ich problemlos errechnen (überprüft mit Online-Rechner, Plot passt auch): f(x) = -0,0875x² + 0,875x

Bei den anderen Parabeln habe ich auch etwas herausbekommen. Wenn ich die jedoch plotte, passt es hinten und vorne nicht, sie liegen falsch, auch die Steigungen passen nicht, die müssten ja an den Übergangsstellen gleich sein für eine knickfreie Anbindung.

Meine (falschen?) Lösungen sind:
Parabel durch C und D: f(x) = 0,096x² + 0,141x
Parabel durch D und E: f(x) = -0,067x² - 0,067x

Was habe ich übersehen? Gibt es ein Schema zur Berechnung solcher Anbindungen? Muss ich Wendepunkte aus der Ursprungsfunktion mit einbeziehen?

Danke für jeden Tipp!
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Punkte: 16

 

es ist schwierig dir zu sagen, was du übersehen hast, ohne deine rechnung zu kennen. wäre schön, wenn du die hochlädst   ─   sora94 15.06.2022 um 09:27

Für die Punkte C und D habe ich gerechnet:

2,1 = 16a + 4b | *(-1,5)
2 = 36a + 6b

-24a - 6b = -3,15
36a + 6b = 2 |beide Gleichungen addieren

12a = -1,15 => a = -0,096

a eingesetzt ergibt b = 0,141

  ─   userd7870b 15.06.2022 um 09:34

wie sieht denn die allgemeine form für deine parabeln aus?   ─   sora94 15.06.2022 um 09:45

...ups... ich habe c übersehen??!

Was muss ich für c einsetzen?
  ─   userd7870b 15.06.2022 um 09:46

um die 3 parameter zu bestimmen brauch man 3 informationen. du hast für parabel p1 3 punkte und für p2 und p3 jeweils 2 punkte. welche information brauchst du dann noch?   ─   sora94 15.06.2022 um 09:50

...einen dritten Punkt. Aber woher soll ich den nehmen?   ─   userd7870b 15.06.2022 um 09:53

ich dachte wenn ich "Information" ist es klar :D du brauchst natürlich, dass du ableitung der parabel in den gemeinsamen punkte übereinstimmt   ─   sora94 15.06.2022 um 10:03

Ich stehe immer noch auf dem Schlauch. Kannst du mir das mal in eine Formel schreiben oder an einem Beispiel zeigen?   ─   userd7870b 15.06.2022 um 10:09

Wenn die allgemeine Form der Parabel f(x) = ax² + bx + c ist, dann ist die Ableitung f'(x) = 2ax + b. So weit bin ich schon mal. Aber wie geht es weiter, was setze ich ein?   ─   userd7870b 15.06.2022 um 10:24

Wie finde ich heraus, was der gemeinsame Punkt der Ableitung und der 2. Parabel ist, wenn ich den Punkt doch brauche, um die Parabel überhaupt zu bestimmen??   ─   userd7870b 15.06.2022 um 10:46

\(P_1`(4)\) kannst du ausrechnen. Den Wert kannst du als Steigung von \(P_2\) an der Stelle 4 verwenden. Also \(P_1 `(4) =P_2`(4)\)   ─   scotchwhisky 15.06.2022 um 10:48

Habe ich ausgerechnet. Wie komme ich von dort aus jetzt zur Funktion? Jetzt habe ich die Punkte C(4| 2,1), D (6|2) und f'(4) = 0,175... kann ich als 3. Punkt jetzt einfach P (4|0,175) nehmen und daraus die Parabel bestimmen?   ─   userd7870b 15.06.2022 um 10:54

nein; du bestimmst die Parameter in \(P_2(x) = ax^2+bx+c \) durch aufstellen der 3 Gleichungen.
1) \(P_2(4)=2,1\)
2.)\(P_2(6)=2\)
3\) \(P_1`(4)= P_2`(4)\)
  ─   scotchwhisky 15.06.2022 um 11:13

Ich verstehe immer noch nicht, wie ich Punkt 3 machen soll.   ─   userd7870b 15.06.2022 um 11:20

du hast oben doch schon die Gleichung für Parabel 1 ausgerechnet (bei dir \(f(x)= -0,0875x^2 +0,875x\)
Leite die Funktion ab und setz dann in die Ableitung x=4. Das ist die Steigung im Punkt C.
Den Wert nimmst du dann für die 3.) Gleichung
  ─   scotchwhisky 15.06.2022 um 11:25

Das habe ich gemacht, da kommt 0,175 raus.   ─   userd7870b 15.06.2022 um 11:28

Dann ist P'2 (4) auch = 0,175, aber wie lautet die Gleichung für P? Ich habe nur P'.
  ─   userd7870b 15.06.2022 um 11:33

super. Das ist in 3) der Wert für \(P_1`(4)\).
Jetzt bildest du die Ableitung von \(P_2(x) =ax^2+bx+c\) und setzt dann in \(P_2`(x)\) für x die 4 ein.
Dann steht da 0,175 = 2a*4+b
  ─   scotchwhisky 15.06.2022 um 11:37

Danke, habe ich soweit verstanden und gemacht. Aber ich bin doch jetzt noch immer in der Ableitung zugange, muss ich nicht irgendwie wieder zur Stammfunktion zurück? Die anderen Punkte muss ich doch auch in ax² + bx + c einsetzen.
  ─   userd7870b 15.06.2022 um 11:46

die a und b aus der Ableitung sind die gleichen wie in der Urfunktion.
Du müsstest jetzt ein Gleichungssystem haben mit 3 Gleichungen für 3 Unbekannte (a, b, c)
  ─   scotchwhisky 15.06.2022 um 11:51

Danke, ich habe eine Lösung und laut Plotter sieht das auch passend aus! :)
Wenn ich jetzt eine weitere Parabel dahinter knickfrei anbinden möchte, muss ich dann von den Koordinaten des nächsten Punktes E ausgehen? (Punkte stehen oben)
  ─   userd7870b 15.06.2022 um 11:58

Jetzt hast du \(P_2\)
\(P_2\) und \(P_3\) stimmen bei Punkt D überein.
Gleiches Prinzip wie eben.
  ─   scotchwhisky 15.06.2022 um 12:47
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