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Zu zeigen ist $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{ (x+1)^{ \alpha } -1}{ x } } = \alpha $.
Es gilt $ \lim\limits_{x \to 0} (x+1)^{ \alpha} -1 = 0$ und $ \lim\limits_{x \to 0} x = 0$.
Nach der Regel von l’Hospital folgt also
$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{ (x+1)^{ \alpha } -1}{ x } } = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{ ((x+1)^{ \alpha } -1)'}{ x' } }
= \lim\limits_{x \to 0}{\frac{ \alpha (x+1)^{ \alpha - 1 }}{ 1 } } = \lim\limits_{x \to 0} \alpha (x+1)^{ \alpha - 1} = \alpha $
$\Box$
Es gilt $ \lim\limits_{x \to 0} (x+1)^{ \alpha} -1 = 0$ und $ \lim\limits_{x \to 0} x = 0$.
Nach der Regel von l’Hospital folgt also
$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{ (x+1)^{ \alpha } -1}{ x } } = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{ ((x+1)^{ \alpha } -1)'}{ x' } }
= \lim\limits_{x \to 0}{\frac{ \alpha (x+1)^{ \alpha - 1 }}{ 1 } } = \lim\limits_{x \to 0} \alpha (x+1)^{ \alpha - 1} = \alpha $
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danieldev
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