Arg zeichnerisch darstellen

Aufrufe: 537     Aktiv: 04.01.2021 um 10:06

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Hi,

für die unten stehende Aufgabe bräuchte ich mal eine Art Musterlösung, da ich keine Ahnung habe, wie man so etwas zeichnerisch darstellt.

 

Danke ;)

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Um sowas zeichnerisch zu lösen, muss man natürlich wissen, wie man komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene darstellt. Es gilt für \(z=r\mathrm{e}^{j\varphi}\), dass \(r\) die Länge des Vektors vom Ursprung zu \(z\) ist und \(\varphi\) der Winkel, den dieser Vektor mit der positiven \(x\)-Achse einschließt. Man beachte hier, dass \(\varphi=\pi\) einem Winkel von \(180^\circ\) entspricht. Wir rechnen hier also in Radiant. Das Argument (\(\arg\)) einer komplexen Zahl ist der Winkel \(\varphi\).

Am Beispiel von \(z_1=\frac{1}{3}\mathrm{e}^{1+j}\) bedeutet das folgendes: Erstmal ist anzumerken, dass wir im Exponenten eine Summe stehen haben, aber nur der Faktor vor der imaginären Einheit für den Winkel relevant ist. Daher trennen wir den e-Term mittels Potenzgesetz auf zu \(z_1=\frac{1}{3}\mathrm{e}^1\mathrm{e}^j\). Nach obiger Formel gilt nun \(r=\frac{1}{3}\mathrm{e}^1\approx 1\) (laut Aufgabenstellung) und \(\varphi=1\), also \(\arg(z_1)=1\cdot\frac{360^\circ}{2\pi}\approx 57^\circ\). Das sollte nun zu zeichnen sein. 

Das Zeichnen von \(z_2\) solltest du damit eigentlich auch hinbekommen. Jetzt musst du dir nur noch überlegen, was mit dem Winkel passiert, wenn man die beiden Zahlen multipliziert bzw. dividiert (Potenzgesetze). 

Versuch es mal. Wenn du nicht weiter kommst, meldest du dich nochmal.

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