Leider ist, wenn man Deine Lösung einsetzt, die linke Seite der Gleichung nicht definiert, weil da $\tan(2x)$ nicht definiert ist.
Mithin hat diese Gleichung keine Lösung in Reellen (im Komplexen schon).
Ansonsten ist die Rechnung richtig, bis auf eine Kleinigkeit: $\sin(2x)$ ist immer zwischen -1 und 1, also $\sin(2x)\in[-1;1]$.

Sollten auch komplexe Lösungen gesucht sein, dann musst Du genau das von Dir verworfene $z_1=3$ nehmen, also $\sin(2x)=3$ lösen.

Ansatz und auch Ergebnis stimmen. Schreib aber am Ende noch $k\in\mathbb{Z}$ dazu.