Leider ist, wenn man Deine Lösung einsetzt, die linke Seite der Gleichung nicht definiert, weil da \(\tan(2x)\) nicht definiert ist.
Mithin hat diese Gleichung keine Lösung in Reellen (im Komplexen schon).
Ansonsten ist die Rechnung richtig, bis auf eine Kleinigkeit: \(\sin(2x)\) ist immer zwischen -1 und 1, also \(\sin(2x)\in[-1;1]\).

Sollten auch komplexe Lösungen gesucht sein, dann musst Du genau das von Dir verworfene \(z_1=3\) nehmen, also \(\sin(2x)=3\) lösen.

Ansatz und auch Ergebnis stimmen. Schreib aber am Ende noch $k\in\mathbb{Z}$ dazu.