Bijektivität einer Abbildung mit Betrag

Erste Frage Aufrufe: 109     Aktiv: 04.12.2021 um 21:33

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Ich habe die Abbildung $$f: \mathbb{R} \rightarrow \{x \in \mathbb{R} | -1 \lt x \lt 1\}, x \rightarrow \frac {x} {1+|x|}$$
und soll zeigen, dass sie bijektiv ist und die Umkehrabbildung bestimmen.
Die Injektivität ist mir bereits gelungen, bei der surjektivität hänge ich.

Mein Ansatz:
$$ y= \frac {x} {1+|x|}$$
1. Fall: $0 \leq x \lt 1$
$y= \frac {x} {1+x}$
$ \iff y(1+x)= x$
$ \iff y + yx= x$

Jetzt weiß ich aber nicht, ob das schon die finale Umkehrabbildung ist, weil da ja noch ein x auf der linken Seite steht und das bekomme ich auch nicht wirklich weg. Beim 2. Fall ist der Ansatz und das Problem analog. Außerdem habe ich noch nicht wirklich verstanden, warum ausgerechnet $ -1 \lt x \lt 1\ $ gelten muss.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
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1 Antwort
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Wenn Du den Graph der Funktion plottest, siehst Du, warum die Bildmenge $(-1,1)$ ist (das ist nur eine der Möglichkeiten).
Das Bestimmen der Umkehrfunktion geht wie immer: $y=f(x)$ nach $x$ umstellen, Variablennamen vertauschen. Du bist noch nicht fertig mit dem Umstellen.
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Danke für deine schnelle Antwort. Das mit dem plotten hat geholfen, danke.
Bei dem Umstellen war mir schon klar, dass ich nicht fertig bin, vielmehr ist das die Frage wie ich das weiter umforme. Weil ich ja auf der einen Seite den Faktor habe, bekomme ich das nicht hin nur das x auf der einen Seite und das y auf der anderen Seite stehen zu haben, um die vaiablen zu vertauschen. Wenn ich die Äquivalenzumformungen machen, drehe ich mich irgendwie nur im Kreis.


  ─   emil8567 04.12.2021 um 14:33

Umstellen geht immer(!!!!) nach demselben Muster: alles mit der gesuchten Variable auf eine Seite bringen. Nur auf die gesuchte Variable schauen und danach umstellen.   ─   mikn 04.12.2021 um 14:39

$\iff y = x-yx$
$\iff y = x(1-y)$
$\iff \frac {y}{1-y} = x$
daraus folgt: $\frac {x}{1-x}=y$, ja manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht, dank dir
  ─   emil8567 04.12.2021 um 15:18

Achte darauf $y= 1$ auszuschließen bevor du durch $(1-y)$ dividierst.   ─   zest 04.12.2021 um 15:32

Hier muss man noch etwas aufpassen. Für die Umkehrfunktion nimmt man (siehe Aufgabenstellung) an: $y\in (-1,1)$. Nun betrachtet man die Fälle $y\ge 0$ und $y\le 0$, weil die Rückschlüsse über das Vorzeichen von $x$ zulassen, was man braucht um den Betrag aufzulösen. Dann umstellen nach $x$, am Ende vertauschen.
Also: sorgfältig auf die Bedeutung von $x$ und $y$ achten. Nach Umstellen (aber vor Vertauschen) gilt $x\in R$. $x$ ist nicht eingeschränkt (über beide Fälle betrachtet).
  ─   mikn 04.12.2021 um 15:34

Wunderbar, vielen lieben Dank für deine Hilfe mikn.
Dann war meine Fallunterscheidung oben nicht ganz richtig. Heißt ich betrachte die Fälle:
1. Fall: $x \geq 0 $, dann ist die allgemeine Umkehrabbildung $f^{-1}(x)= \frac {x}{1-x}$
1A. Fall: $0 \leq y \lt 1 $, dann ist die Umkehrabbildung immernoch $f^{-1}(x)= \frac {x}{1-x}$
1B. Fall: $-1 \lt y\lt 0 $, dann ist die Umkehrabbildung $f^{-1}(x)= -\frac {x}{1-x}$

Analog dann noch für den 2.Fall $x<0$

Daraus kann man folgern: Für alle $x \in R$ und für alle $y \in (-1,1)$ existiert eine Umkehrabbildung, also ist die Abbildung f surjektiv +injektiv (injektiv hatte ich ja schon gezeigt) --> bijektiv q.e.d.
Jetzt ist in der Aufgabe die Rede von: "Geben Sie DIE Umkehrabbildung" an. Jetzt zeigen die Fallunterscheidungen ja, dass es nicht DIE eine gibt, sondern das abhängig ist. Reicht dann die Lösung so aus, wie sie hier oben steht?
  ─   emil8567 04.12.2021 um 16:03

Du hast immer noch ein Durcheinander mit x und y. Du machst eine Fallunterscheidung mit y, aber y kommt danach gar nicht vor.
Also, geordnet.
Zunächst mal ist für alle x: $|f(x)| = \frac{|x|}{1+|x|} < \frac{1+|x|}{1+|x|} =1$. Wir wissen also schonmal, dass $f(R)\subseteq (-1,1)$.
Injektiv/surjektiv/Umkehrfunktion ist EINE Rechnung. Das Vorgehen ist für ALLE(!!) diese Aufgabentypen stets(!) dasselbe.
Sei $y\in (-1,1)$ und $y=f(x)$. Dies wird aufgelöst nach $x$. Wenn wir zu jedem dieser y's genau ein x finden, ist f bijektiv. Die Umkehrfunktion liest man nach Umstellung ab:
1. Fall: $y\ge 0$: Dann folgt aus $y=f(x)$, dass $x\ge 0$ sein muss (überleg Dir ganz genau warum!). Die Umstellung führt dann auf $x=\frac{y}{1-y}=f^{-1}(y)$.
2. Fall: $y\ge 0$: Den mach bitte selbst.
Ergebnis am Ende: $f^{-1}(y)=\begin{cases} \frac{y}{1-y} & y \ge 0\\ ... & y\le 0\end{cases} = .... $...kann man mit $|y|$ auch elegant ohne Fallunterscheidung schreiben, nämlich wie?
  ─   mikn 04.12.2021 um 19:09

Also zum ersten Fall:
Da $y \geq 0$ und $y=f(x)$ ist auch $f(x) \geq 0$, das gilt aber nur, wenn $x \geq 0$, weil sonst das Vorzeichen im Nenner negativ wäre und dadurch der gesamte Bruch negativ würde, d.h. $f(x) \leq 0$, was aber der Voraussetzung widerspräche.

Zum zweiten Fall:
Sei $y \leq 0$, also ist $f(x) \leq 0$ und das gilt nunmal nur für $x \leq 0$. Also ist:
$-y= \frac{-x}{1-x} \iff y = x+yx \iff x = \frac {y}{1+y} = f^{-1}(y) $

Zusammen also:
$$f^{-1}(y) = \left\{
\begin{array}{}
\frac {y}{1-y} & y \geq 0 \\
\frac {y}{1+y} & \, y \leq 0 \\
\end{array}
\right. = \frac {y}{1-|y|}$$

Ich hoffe inständig, dass ich das jetzt so alles richtig verstanden und aufgeschrieben habe und kann dir gar nicht genug für deine Zeit und Hilfe danken.
  ─   emil8567 04.12.2021 um 20:11

Weitgehend richtig, insb. das Endergebnis.
1. Zu der Begründung "$f(x)\ge 0$, das gilt aber nur, wenn $x\ge 0$": Mir ist das zu undurchsichtig: Aus $f(x)\ge 0$ kann man durch simple Umformung $x\ge 0$ folgern, schön mathematisch sauber und klar. Einen Beweis (wenn man das so nennen will) mit Worten führen, ist oft unklar, und Du machst es auch noch indirekt ("weil sonst....") was alles noch unklarer macht und auch gar nicht nötig ist. Gleiches für die entsprechende Stelle im 2. Fall.
2. Wieso steht da plötzlich "$-y= \frac{-x}{1-x}$"? Woher kommt das minus? Es ist zwar math. richtig, aber da man dazu kein minus braucht, vermute ich einen falschen Gedanken dahinter. Denk das nochmal durch.

Gut, dass Du die Umschreibung ohne Fallunterscheidung hingekriegt hast. Das, dachte ich, wäre das schwierigste.
  ─   mikn 04.12.2021 um 20:41

Zu 1.: Das werde ich dann überarbeiten
Zu 2.: Da hatte ich einfach gedacht, wenn $y,f(x) \leq 0$ dann haben sie ja negative Vorzeihen, also $-y = -f(x) \iff y = f(x)$, das ist an sich unnötig und zusätzlich schwieriger nachzuvollziehen, also lasse ich das weg.
Wie gesagt, nochmal danke für die Hilfe und, dass du dir die Zeit genommen hast .D
  ─   emil8567 04.12.2021 um 21:22

Ich helfe gerne, wenn jemand engagiert mitarbeitet wie Du.
Zum minus: Ja, ich ahnte so was: Nur weil eine Variable negativ ist, muss man kein minus davor schreiben. Da Du es auf beiden Seiten gemacht, ist es aber eine zulässige (aber ünnötige) Umformung.
  ─   mikn 04.12.2021 um 21:33

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