Ich habe die Abbildung $$f: \mathbb{R} \rightarrow \{x \in \mathbb{R} | -1 \lt x \lt 1\}, x \rightarrow \frac {x} {1+|x|}$$
und soll zeigen, dass sie bijektiv ist und die Umkehrabbildung bestimmen.
Die Injektivität ist mir bereits gelungen, bei der surjektivität hänge ich.

Mein Ansatz:
$$ y= \frac {x} {1+|x|}$$
1. Fall: $0 \leq x \lt 1$
$y= \frac {x} {1+x}$
$ \iff y(1+x)= x$
$ \iff y + yx= x$

Jetzt weiß ich aber nicht, ob das schon die finale Umkehrabbildung ist, weil da ja noch ein x auf der linken Seite steht und das bekomme ich auch nicht wirklich weg. Beim 2. Fall ist der Ansatz und das Problem analog. Außerdem habe ich noch nicht wirklich verstanden, warum ausgerechnet $ -1 \lt x \lt 1\ $ gelten muss.
Kann mir da jemand weiterhelfen?