Kern von Matrix, Kern berechnen, Matrixraum usw.

Aufrufe: 97     Aktiv: 18.02.2024 um 18:59
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Der kern einer Matrix ist die Lösungsmenge eines LGS. Schlag das nach und löse das LGS.
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Die rot eingekringelte Matrix, ich nenne sie mal B, ist ja die Zeilenstufenform der Matrix \(A-2E_4\).
Bei diesen Zeilenstufenformen gibt es immer die Einsen, die am Anfang einer jeden Zeile stehen.
"Anfang" heißt dabei: Links von dieser 1 stehen nur Nullen (diese 1-en werden als "Zeilenführer" oder "Pivotelement" bezeichnet).
In manchen Spalten kommen solche Pivotelemente vor, in manchen nicht.
Jede Spalte, die KEIN Pivotelement enthält, liefert einen Kernvektor (genauer: ein Element der Basis des Kerns).
Hier ist das die dritte Spalte.
Um den Kernvektor zusammenzubauen, startet man erstmal mit den kanonischen Einheitsvektor \(e_k\), wobei k der Spaltenindex ist.
Hier ist k=3. Also starte ich mit \(e_3\). Ich rechne dann \(B e_3\) aus. Das ist die dritte Spalte von B, und die ist 0. Also ist \(e_3\) ein Kernvektor.
Fertig.

Im Allgemeinen funktioniert das aber nicht so schnell. Nehmen wir mal an, die Zeilenstuenform wäre \(C=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 0\\0 & 1 & 5 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\).
Die dritte Spalte von C ist dann \(C e_3 = \left( \begin{array}{c} 3\\5\\0\\0\end{array}\right) \not=0\).
Dann eliminiere ich die 3 wie folgt: Ich gehe von dieser 3 aus in der Matrix C nach links, bis ich auf das Pivot-Element stoße. Dieses steht in Zeile 1. Also subtrahiere ich von den \(e_3\) noch \(3e_1\) und erhalte: \(e_3-3 e_1\).
Und die 5 eliminiere ich analog: Ich gehe von dieser 5 aus nach links, bis ich auf das Pivot-Element stoße. Dieses steht in Zeile 2. Also subtrahiere ich noch \(5 e_2\) und erhalte: \(v = e_3-3e_1-5 e_2 =\left( \begin{array}{c} -3\\-5\\1\\0\end{array}\right) \).
Wie man sich überzeugt, ist \(C v=0\). v wäre dann ein Kernvektor.
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