Der kern einer Matrix ist die Lösungsmenge eines LGS. Schlag das nach und löse das LGS.

Die rot eingekringelte Matrix, ich nenne sie mal B, ist ja die Zeilenstufenform der Matrix \(A-2E_4\).
Bei diesen Zeilenstufenformen gibt es immer die Einsen, die am Anfang einer jeden Zeile stehen.
"Anfang" heißt dabei: Links von dieser 1 stehen nur Nullen (diese 1-en werden als "Zeilenführer" oder "Pivotelement" bezeichnet).
In manchen Spalten kommen solche Pivotelemente vor, in manchen nicht.
Jede Spalte, die KEIN Pivotelement enthält, liefert einen Kernvektor (genauer: ein Element der Basis des Kerns).
Hier ist das die dritte Spalte.
Um den Kernvektor zusammenzubauen, startet man erstmal mit den kanonischen Einheitsvektor \(e_k\), wobei k der Spaltenindex ist.
Hier ist k=3. Also starte ich mit \(e_3\). Ich rechne dann \(B e_3\) aus. Das ist die dritte Spalte von B, und die ist 0. Also ist \(e_3\) ein Kernvektor.
Fertig.

Im Allgemeinen funktioniert das aber nicht so schnell. Nehmen wir mal an, die Zeilenstuenform wäre \(C=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 0\\0 & 1 & 5 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\).
Die dritte Spalte von C ist dann \(C e_3 = \left( \begin{array}{c} 3\\5\\0\\0\end{array}\right) \not=0\).
Dann eliminiere ich die 3 wie folgt: Ich gehe von dieser 3 aus in der Matrix C nach links, bis ich auf das Pivot-Element stoße. Dieses steht in Zeile 1. Also subtrahiere ich von den \(e_3\) noch \(3e_1\) und erhalte: \(e_3-3 e_1\).
Und die 5 eliminiere ich analog: Ich gehe von dieser 5 aus nach links, bis ich auf das Pivot-Element stoße. Dieses steht in Zeile 2. Also subtrahiere ich noch \(5 e_2\) und erhalte: \(v = e_3-3e_1-5 e_2 =\left( \begin{array}{c} -3\\-5\\1\\0\end{array}\right) \).
Wie man sich überzeugt, ist \(C v=0\). v wäre dann ein Kernvektor.