Beispiel für Stetigkeit (Metrik)

Aufrufe: 520     Aktiv: 07.04.2021 um 12:30
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Hallo,
Also gegeben ist folgende Definition, die soweit auch klar ist:
Für jede Folge (\(x_{k}\)) mit \(x_{k}\) \(\in\) \(X\) und \(\lim x_k\) = \(a\) mit k gegen unendlich konvergiert die Bildfolge (\(f(x_k)\)) in \(Y\) gegen \(f(a)\)
Also \(X\) und \(Y\) sind metrische Räume

Jetzt wird ein Beispiel angegeben (siehe Bild). Man muss ja zeigen, dass die Folge der Bilder auch gegen 0 geht. Leider verstehe ich nicht warum man deshalb  \(z_k\) so definiert, wie es definiert wurde und generell verstehe ich die Umformungen nicht.
Am Schluss hat man dann |\(f(x_k)\)| \(\le\) \(\sqrt{||x_k||}\) und weil (\(x_k\)) eine Nullfolge ist, geht \(\sqrt{||x_k||}\) auch gegen Null und damit auch die Folge der Bilder. Aber wäre nett wenn mir jemand die Umformungen erklären könnte, dass der Nenner per Definition die euklisische Norm ist weiß ich. 
Ich weiß auch gar nicht was \(|z_{kj}\)| bedeuten soll, wegen den zwei Indizes. Wahrscheinlich die Folge der Komponenten des Vektors z  oder so. Aber müsste dann \(|z_{kj}\)| nicht immer genau 1 sein und nicht kleiner gleich?


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Hallo,

\( z_k \) ist ja ein Vektor aus \( \mathbb{R}^2 \). \( z_{kj} \) steht dann für die Komponenten des Vektors, also

$$ z_k = \begin{pmatrix} z_{k1} \\ z_{k2} \end{pmatrix} $$

Das dann jede Komponente zwischen \(1 \) und \( -1 \) liegt, folgt sofort, dass der Vektor die Länge 1 hat. Ist das klar?

Das erste Gleichheitszeichen entsteht dann einfach durch einsetzen. Es gilt ja

$$ z_{kj} = \frac {x_{kj}} {\Vert x_k \Vert} $$

denn wir teilen jede Komponente des Vektors durch die Länge des Vektors. Also ist

$$ x_{k1} = z_{k1} \cdot \Vert x_k \Vert $$

und

$$ x_{k2} = z_{k2} \cdot \Vert x_k \Vert $$

Wenn du das nun einsetzt, erhälst du deine erste Umformung.

Grüße Christian
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Danke, das hat sehr geholfen. Also ich verstehe das so, dass der Vektor \(z_k\) immer genau die Länge eins hat, weil wir den ja normieren. Daraus folgt dann, das die Komponenten \(z_{kj}\) maximal die Länge eins haben. Weil wäre eine Komponente größer als eins, wäre die Länge des Vektors \(z_k\) ja auch schon größer als eins. Die Ungleichung |\(z_{kj}\)| \(\le\) 1 brauche ich in diesem Fall für die allerletzte Abschätzung, also für \(z_{k1}^2\) \(\sqrt{|z_{k2}|}\) \(\sqrt{||x_{k}||}\) \(\le\) \(\sqrt{||x_{k}||}\), weil sonst würde ja \(\ge\) gelten anstatt \(\le\). Und das wird dann auch der Grund sein, warum \(z\) überhaupt so eingeführt wurde.   ─   sorcing 07.04.2021 um 06:41
Genau so ist es :)!   ─   christian_strack 07.04.2021 um 12:30

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