Stetigkeit / Injektivität von x/|x|

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Hallo,

 

in einer Aufgabenstellung wird verlangt f(x) = x/|x| rechnerisch auf Stetigkeit und Injektivität zu untersuchen. Injektiv heisst soweit ich weiß dass es für jeden x Wert höchstens einen Wert f(x) gibt.

 

Das ist hier nicht der Fall, oder? Falls das stimmt, wie kann ich sowas rechnerisch definieren bzw. berechnen?

 

Ebenso ist eine häufige Aufgabenstellung die Funktion auf Stetigkeit zu untersuchen. Ich habe eine Rechnung mithilfe von limes versucht, wusste aber irgendwann nicht genau weiter. Ist das überhaupt möglich?

 

Danke

gefragt 6 Monate, 1 Woche her
schestk
Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Um zu zeigen, dass die Funktion nicht injektiv ist, reicht ein Gegenbeispiel. Da könnte man beispielsweise \( f(1)=1=f(2) \) anführen.

Dass die Funktion stetig ist, kann man damit erschlagen, dass die Funktion eine Komposition stetiger Funktionen ist: Der Betrag ist stetig und \( x \mapsto \frac{1}{x} \) ist stetig, also ist auch deren Komposition \( x \mapsto \frac{1}{\vert x \vert} \) stetig, und da \( x \mapsto x \) stetig ist, muss auch das Produkt \( x \mapsto x \cdot \frac{1}{\vert x \vert }=\frac{x}{\vert x \vert} \) stetig sein.

Als kleiner Tipp: Zum Beweis der Stetigkeit einer Funktion ist das Folgenkriterium in der Regel völlig ungeeignet. Das nutzt man oft dazu, zu zeigen, dass eine Funktion nicht stetig sein kann. Als Faustregel kann man sich merken: Will man Stetigkeit nachweisen, verwendet man das Epsilon-Delta-Kriterium, will man Unstetigkeit nachweisen, verwendet man das Folgenkriterium.

geantwortet 6 Monate, 1 Woche her
anonym
Student, Punkte: 4.51K
 

Injektivität bedeutet übrigens, dass es nicht zwei unterschiedliche x-Werte mit dem gleichen Funktionswert gibt. Dass es zu einem x Wert nur einen f(x) Wert gibt, ist immer erfüllt, ansonsten wäre f nämlich keine Funktion.   ─   anonym 6 Monate, 1 Woche her
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