Hallo!
a) Die gemeinsame Periode ist \(\displaystyle 2\pi\), denn es gilt, dass \(\displaystyle \sin(x+2\pi) = \sin(x'+2\pi)\).
b) \(\displaystyle \sin(-3x)-\sin(-x) = -\sin(3x)+\sin(x) = -\big(\sin(3x)-\sin(x)\big) \quad\Longleftrightarrow\quad f(-x) = -f(x)\)
c) Die Darstellung ist falsch, denn es gilt, dass
\(\displaystyle \sin(x)+\sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\). Mit \(\displaystyle x \mapsto 3x\) und \(\displaystyle y \mapsto y\) erhält man, dass
\(\displaystyle f(x) = \sin(3x) - \sin(x) = \sin(3x) + \sin(-x) = 2\sin\left(x\right)\cos(2x)\).
d) Satz vom Nullprodukt liefert:
\(\displaystyle x = n\pi \quad \lor \quad x = \frac{(2n+1)\pi}{4} \qquad n \in \mathbb{Z}\).
e) Dies solltest Du nun lösen können.
Gruß.
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