Lineare Abbildung, kanonische Basis, usw.

Erste Frage Aufrufe: 27     Aktiv: 22.02.2021 um 17:44

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Hallo :) 
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabenstellung: 
phi: P2 -> P2, phi: p -> phi(p), mit phi(p)(x) = xp'(x)
nun ist die Frage, ob f eine lineare Abbildung sei. Das habe ich mit der Additivität und Homogenität von f bewiesen. 

Nun soll man die Darstellungsmatrix der Abbildung bezüglich der Standardbasis darstellen. Wie gehe ich hier vor? Bzw. warum bildet phi p auf phi(p) ab und phi(p)(x) ist dann xp'(x)? also was ist dieses x?
Danke
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Hallo,

was meinst du mit der Additivität und Homogenität von \(f\)? 
Das die Abbildung linear ist, kannst du über die Additivität und Homogenität der Ableitung zeigen. Meinst du das mit \(f\)?

Die Schreibweise 

$$ \varphi : p(x) \mapsto \varphi(p(x)) $$

bedeutet einfach, dass wir \( p(x) \) durch \( \varphi \) abbilden.

Die Abbildung \( \varphi(p(x)) \) bildet ein Polynom \(p(x) \) auf das Produkt der Ableitung mal der Variable \( x \) ab. Als Beispiel:
Wir bilde \( p(x) = 2x^3 - 3x \) ab und erhalten

$$ \varphi(2x^3-3x) = x \cdot (2x^3-3x)' = x \cdot (6x^2 - 3) = 6x^3 - 3x $$

Kommst du nun weiter?

Grüße Christian
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