Was wäre, wenn die dritte Ableitung gleich null wäre?

Erste Frage Aufrufe: 42     Aktiv: 12.10.2021 um 13:41

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Hallo! 
Ich hab eine/ein paar Fragen zu Ableitungen/Wendestellen/Extrempunkten:
Was passiert, wenn die dritte Ableitung gleich null wäre? Wäre das dann ein Sattelpunkt oder irgendwas ganz anderes? Und ist das überhaupt möglich?
Viele liebe Grüße und vielen Dank im Voraus für eine Antwort. :)
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Dann kommt es auf die vierte Ableitung (oder noch weitere an).
Das Kriterium ist:
Sei $x_0\in (a,b), \, f'(x_0)=f''(x_0) = \ldots = f^{(k-1)}(x_0)=0,\, f^{(k)}(x_0)\neq 0$.
Dann gilt:
Falls $k$ gerade: $f$ hat in $x_0$ ein relatives Extremum, und zwar ein relatives Maximum, falls $f^{(k)}(x_0) < 0$ bzw. ein relatives Minimum, falls $f^{(k)}(x_0) > 0$.
Falls $k$ ungerade: $f$ hat in $x_0$ kein relatives Extremum, sondern einen Sattelpunkt. $f$ ist in der Umgebung von $x_0$ streng monoton und zwar steigend, falls $f^{(k)}(x_0) > 0$ bzw. fallend, falls $f^{(k)}(x_0) < 0$.

Das einfachste und lehrreichste ist, sich das Beispiel $f(x)=x^n$ an der Stelle $x_0=0$ zu merken. Der Graph davon ist (hoffentlich) klar, und dann merkt man schon, wie das mit gerade/ungerade ist.
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Das ist möglich, betrachte einfach $f(x)=x^4$,
Falls das Entscheidungskriterium versagt, indem f''(x)=0 beim Extrempunkt bzw. f'''(x)=0 beim WP herauskommt, muss mit einem Vorzeichenwechsel von f' bzw. f'' überprüft werden.
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