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Dann kommt es auf die vierte Ableitung (oder noch weitere an).
Das Kriterium ist:
Sei $x_0\in (a,b), \, f'(x_0)=f''(x_0) = \ldots = f^{(k-1)}(x_0)=0,\, f^{(k)}(x_0)\neq 0$.
Dann gilt:
Falls $k$ gerade: $f$ hat in $x_0$ ein relatives Extremum, und zwar ein relatives Maximum, falls $f^{(k)}(x_0) < 0$ bzw. ein relatives Minimum, falls $f^{(k)}(x_0) > 0$.
Falls $k$ ungerade: $f$ hat in $x_0$ kein relatives Extremum, sondern einen Sattelpunkt. $f$ ist in der Umgebung von $x_0$ streng monoton und zwar steigend, falls $f^{(k)}(x_0) > 0$ bzw. fallend, falls $f^{(k)}(x_0) < 0$.
Das einfachste und lehrreichste ist, sich das Beispiel $f(x)=x^n$ an der Stelle $x_0=0$ zu merken. Der Graph davon ist (hoffentlich) klar, und dann merkt man schon, wie das mit gerade/ungerade ist.
Das Kriterium ist:
Sei $x_0\in (a,b), \, f'(x_0)=f''(x_0) = \ldots = f^{(k-1)}(x_0)=0,\, f^{(k)}(x_0)\neq 0$.
Dann gilt:
Falls $k$ gerade: $f$ hat in $x_0$ ein relatives Extremum, und zwar ein relatives Maximum, falls $f^{(k)}(x_0) < 0$ bzw. ein relatives Minimum, falls $f^{(k)}(x_0) > 0$.
Falls $k$ ungerade: $f$ hat in $x_0$ kein relatives Extremum, sondern einen Sattelpunkt. $f$ ist in der Umgebung von $x_0$ streng monoton und zwar steigend, falls $f^{(k)}(x_0) > 0$ bzw. fallend, falls $f^{(k)}(x_0) < 0$.
Das einfachste und lehrreichste ist, sich das Beispiel $f(x)=x^n$ an der Stelle $x_0=0$ zu merken. Der Graph davon ist (hoffentlich) klar, und dann merkt man schon, wie das mit gerade/ungerade ist.
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mikn
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