Nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung lösen

Aufrufe: 696     Aktiv: 28.06.2022 um 16:29

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Meine Frage bezieht sich auf folgende Aufgabe:

Ich habe aus der entsprechenden Form entnehmen können, dass es sich um eine nichtlineare Differentialgleichung handeln muss, da es sich nicht in die Form $ y^{\prime}=f(x)\cdot y + g(x) $ umformen lässt. Es handelt sich gleichzeitig auch um eine nichtexakte Differentialgleichung, da die gemischten partiellen Ableitungen nicht gleich sind (siehe Rechnung unten). Mit diesen Informationen bin ich auf dem Entschluss gekommen, dass mir nur noch (anhand meiner bekannten) ein Lösungsverfahren hier übrig bleibt und das ist die Differentialgleichung versuchen mit einem integrierenden Faktor exakt zu machen, um ein Potenzial zu finden. Trennung der Variablen habe ich hier ausgeschlossen, da ich es nicht schaffe $y$ und $x$ voneinander zu trennen. Das Problem ist, dass mein integrierender Faktor $M$ in meiner Rechnung nun noch von $x$ und $y$ abhängig ist, wodurch (wie ich es verstanden habe) auch dieser Lösungsweg wegfällt und man nur noch den Faktor raten kann. Meine Frage wäre jetzt hierzu: liege ich richtig mit meinen Annahmen, und wenn ja, wie kann ich diesen Faktor am besten raten?


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Fortsetzung von https://www.mathefragen.de/frage/q/a562047402/differentialgleichung-mit-randbedingungen/
(falls jemand nach der Lösung sucht, steht sie nun bei der zugehörigen Frage, nämlich dieser hier).
Der Fragesteller steuerte folgenden Lösungsansatz bei (zusammengefasst vom link oben):

Nach Multiplizieren mit dem Nenner stellt sich $M=\frac1{x^2}$ als integrierender Faktor heraus, so dass eine exakte Dgl vorliegt. Diese liefert das Potenzial $P(x,y)=y^2-\frac1xy$.
Die allgemeine Lösung $y$ erfüllt also die Gleichung $y^2-\frac1xy=C$.

Der Rest geht dann so: Dies ist eine quadratische Gleichung in $y$, kann also leicht gelöst werden:
$y(x)=\frac{1\pm \sqrt{4Cx^2+1}}{2x} = \frac{1\pm \sqrt{dx^2+1}}{2x}$ mit einer Konstante $d$. Diese Konstante würde einem etwaigen AW angepasst (wenn man ihn hätte).

Bem. 1: Zu jedem AW gibt es nur eine Lösung - es sieht nur durch $\pm$ so aus, als gäbe es zwei.
Bem. 2: Eine Aufgabe, deren Lösung einen größeren Aufwand erfordert. Sieht man hier im Forum sehr selten.
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