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Fortsetzung von https://www.mathefragen.de/frage/q/a562047402/differentialgleichung-mit-randbedingungen/
(falls jemand nach der Lösung sucht, steht sie nun bei der zugehörigen Frage, nämlich dieser hier).
Der Fragesteller steuerte folgenden Lösungsansatz bei (zusammengefasst vom link oben):
Nach Multiplizieren mit dem Nenner stellt sich $M=\frac1{x^2}$ als integrierender Faktor heraus, so dass eine exakte Dgl vorliegt. Diese liefert das Potenzial $P(x,y)=y^2-\frac1xy$.
Die allgemeine Lösung $y$ erfüllt also die Gleichung $y^2-\frac1xy=C$.
Der Rest geht dann so: Dies ist eine quadratische Gleichung in $y$, kann also leicht gelöst werden:
$y(x)=\frac{1\pm \sqrt{4Cx^2+1}}{2x} = \frac{1\pm \sqrt{dx^2+1}}{2x}$ mit einer Konstante $d$. Diese Konstante würde einem etwaigen AW angepasst (wenn man ihn hätte).
Bem. 1: Zu jedem AW gibt es nur eine Lösung - es sieht nur durch $\pm$ so aus, als gäbe es zwei.
Bem. 2: Eine Aufgabe, deren Lösung einen größeren Aufwand erfordert. Sieht man hier im Forum sehr selten.
(falls jemand nach der Lösung sucht, steht sie nun bei der zugehörigen Frage, nämlich dieser hier).
Der Fragesteller steuerte folgenden Lösungsansatz bei (zusammengefasst vom link oben):
Nach Multiplizieren mit dem Nenner stellt sich $M=\frac1{x^2}$ als integrierender Faktor heraus, so dass eine exakte Dgl vorliegt. Diese liefert das Potenzial $P(x,y)=y^2-\frac1xy$.
Die allgemeine Lösung $y$ erfüllt also die Gleichung $y^2-\frac1xy=C$.
Der Rest geht dann so: Dies ist eine quadratische Gleichung in $y$, kann also leicht gelöst werden:
$y(x)=\frac{1\pm \sqrt{4Cx^2+1}}{2x} = \frac{1\pm \sqrt{dx^2+1}}{2x}$ mit einer Konstante $d$. Diese Konstante würde einem etwaigen AW angepasst (wenn man ihn hätte).
Bem. 1: Zu jedem AW gibt es nur eine Lösung - es sieht nur durch $\pm$ so aus, als gäbe es zwei.
Bem. 2: Eine Aufgabe, deren Lösung einen größeren Aufwand erfordert. Sieht man hier im Forum sehr selten.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 32.91K
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