F(eG) = eH im Gruppenhomomorphismus

Erste Frage Aufrufe: 76     Aktiv: 16.09.2021 um 15:39

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Seien (G, ◦) und (H, ∗) Gruppen mit neutralen Elementen eG beziehungsweise eH. Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt:
f(eG) = eH
Es gibt einige Regeln und Beweise dazu in meinem Buch. Die Regel f(eG) = eH kann ich durch ein Beispiel herausfinden. Im Buch ist jedoch ein Beweis den ich nicht verstehe:

Ich verstehe wie die Gleichungen zu stande kommen.
Ich verstehe nur nicht wieso  ein Beweis für f(eG) = eH ist, wo eH in dieser Gleichung gar nicht erwähnt wird, weder gezeigt wird, dass eH irgendwelchen Zuammenhang mit Elementen in der Gleichung hat.

Danke im Voraus.
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Sehr hilfreich, danke. Habe es jetzt verstanden.   ─   sjama 16.09.2021 um 15:39
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1 Antwort
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Irgendwie spinnt LaTeX und auch die Vorschaufunktion funktioniert bei mir nie richtig. Du hast $$f(e_G)f(e_G) = f(e_G)$$ Linksmultiplikation mit $f(e_G)^{-1}$ liefert $$f(e_G)^{-1}(f(e_G)f(e_G)) = e_H$$ Assoziativität (links) liefert $$ (\underbrace{f(e_G)^{-1}f(e_G)}_{e_H})f(e_G) = e_H$$ Somit $$f(e_G) = e_H$$
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