Schnittpunkt von Geradenschar und Ebene

Aufrufe: 1412     Aktiv: 23.01.2021 um 22:32
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Hallo, könnt Ihr mir bitte bei der Lösung von Teilaufgabe a) behilflich sein?

Ich weiß zwar das allgemeine Schema und habe auch schon damit angefangen: Koordinatengleichungen von Schargerade und Ebene gleichsetzen, LGS auflösen nach r, s und t in Abhängigkeit von a. 

Meine Gleichungen lauten:

I   -a+2r=5+2s-3t

II  -a+2r=1        +t

II   -1+ra=3-s

Und umgestellt:

I   -5=a-2r+2s-3t

II  -1=-a-2r      +t

III -4=-ra     -s

Hier komme ich aber nicht mehr weiter. Ich habe schon einiges versucht, bekomme es aber nicht hin, die einzelnen Parameter in Abhängigkeit von a zu berechnen. Könnt ihr mir hiermit bitte helfen?

 

Gruß, Manuel

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Hallo :-) Zunächst mal ist da ein Fehler beim Umstellen der Gleichung II passiert. Da müsste rechts +a stehen und nicht -a. Und wenn du das über das Gleichungssystem lösen willst, dann bringst du am besten alle a auch auf die linke Seite. a ist ja wie eine Zahl zu behandeln. Lediglich das a als Faktor neben r bleibt rechts. Dann heißt es, Gleichungssystem lösen, also r, s und t bestimmen. Z. B. zunächst über I+3*II=IIa und danach IIa+2*III=IIIa

Aber ... wenn du die Ebenengleichung zunächst in Koordinatenform bringst, dann brauchst du kein Gleichungssystem zu lösen :-) Dann kann man die Gerade ja in die Ebene einsetzen und hat dann nur den Parameter r, den man abhängig von a bestimmt. Und dann feststellt, dass r gar nicht von a abhängt.

Kommst du damit etwas weiter? :-)

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Hi Andi,

Erstmal vielen Dank für deine Antwort. Der Fehler beim Umstellen war mir gar nicht aufgefallen.
Die Idee mit der Ebene in Koordinatenform hatte ich auch schon. Als Kreuzprodukt der beiden RV erhalte ich den Normalenvektor (1;3;2), wenn ich dann noch mithilfe des Stützvektors c berechne, komme ich auf

E: x + 3y + 2z = 14.

Anschließend habe ich die Gerade umgeschrieben, also

x=-a+2r
y=-a+2r
z=-1+ra.

Durch Einsetzen komme ich weiter auf

-4a+8r+2ra=16.

Aber hier hängen ja immer r und a zusammen, wie soll ich dann r isoliert ausrechnen?   ─   manuel01 23.01.2021 um 20:47
Passt. Jetzt alles mit r auf eine Seite, alles andere auf die andere ... und dann r ausklammern.
Danach teilen, nochmal ausklammern, kürzen, fertig. :-)   ─   andima 23.01.2021 um 20:53
Danke, du bist meine Rettung ;)

Mein Ergebnis lautet: r=2,
womit die allgemeine Lösung für den SP (-a+4; -a+4; 2a-1) ist.   ─   manuel01 23.01.2021 um 21:07
Wunderbar :-) Gern geschehen!   ─   andima 23.01.2021 um 21:09

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wenn du mit den Parametergleichungen arbeitest empfiehlt sich das Gauß-Verfahren;  s, t und r (r als letztes) auf die eine Seite und die beiden Stützvektoren auf die andere. ist schnell und übersichtlich gelöst

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Danke für die Antwort, ich bin aber mit Andis Hilfe schon fertig geworden.   ─   manuel01 23.01.2021 um 21:09
musst sicher sowas noch öfter machen, vll. hilft's dir dann. oder du probierst es noch mal auf die Weise aus.   ─   monimust 23.01.2021 um 21:12
Habe es jetzt mit Gauß nochmal durchgerechnet und bin auch auf r=2 gekommen, nachdem die letzte Zeile (2a+8)r=4a+16 lautete. t ist dann -a+3, s=-2a+4.
Die Berechnung vom Schnittpunkt ist ja dieselbe wie oben.   ─   manuel01 23.01.2021 um 22:01
das schöne ist, wenn du r nach hinten stellst, musst du ja s und t gar nicht mehr berechnen um den Punkt rauszubekommen   ─   monimust 23.01.2021 um 22:18
Stimmt, ich muss ja nur r in g einsetzen.
Danke dir!   ─   manuel01 23.01.2021 um 22:32

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