Urnenmodell, Kombinatorik

Aufrufe: 144     Aktiv: 20.05.2021 um 21:26

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Wie gehe ich bei der Aufgabe vor? Ich weiß das hier nur die Formel
(n
k)

passen kann. (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge)
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Punkte: 10

 

Frage immer noch offen   ─   mathetoni 20.05.2021 um 06:33

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2 Antworten
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Hier hilft der Entscheidungsbaum... kennst du den ?
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Das würde ich nicht mit Binomialkoeffizienten, sondern mit einem Baumdiagramm lösen. Manchmal wird es auch Entscheidungsbaum oder ähnlich genannt. Kennst du das?
Ich habe es hier mal angefangen, es fehlen noch zwei Spalten, aber das Prinzip bleibt dasselbe.



Nun kannst du daran entlang die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Ich zeige es dir mal an der Aufgabe A, dann kannst du es selbst bei den anderen versuchen.

A: "Man zieht nur rote Kugeln."

1. Als erstes musst du überlegen, wie viele Möglichkeiten du hast, die "Pfade entlangzugehen", sodass am Ende das Ereignis zutrifft.
In unserem Beispiel trifft das Ereignis A nur in einem Fall zu.

2. Du musst jetzt für jede Möglichkeit überlegen, was du beim ersten, beim zweiten Wurf, usw. jeweils ziehen musst.
In unserem Beispiel ist einfach, da man jedes Mal eine rote Kugel ziehen muss.

3. Nun musst du überlegen, wie groß die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen ist, dass du die "richtige" Kugel (in unserem Fall rot) ziehst:
Da 6 der 10 Kugeln rot sind, ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal eine rote Kugel zu ziehen, \(\frac {6}{10}\).

4. Das machst du jetzt auch mit allen weiteren Zügen:
Beim zweiten Zug sind 5 der 9 Kugeln rot, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac {5}{9}\).
Beim dritten Zug sind 4 der 8 Kugeln rot, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac {4}{8}\).
Beim vierten Zug sind 3 der 7 Kugeln rot, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac {3}{7}\).
Beim fünften Zug sind 2 der 6 Kugeln rot, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac {2}{6}\).

5. Diese einzelnen Warscheinlichkeiten werden jetzt multipliziert.
\(\frac {6}{10}*\frac {5}{9}*\frac {4}{8}*\frac {3}{7}*\frac {2}{6}\)

6. Falls du am Anfang (bei 1.) mehrere Möglichkeiten hattest, berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für die anderen "Pfade" genauso und addierst am Ende alle.

In unserem Beispiel hatten wir keine verschiedenen Pfade, also wird auch nichts addiert.



Jetzt haben wir unser Ergebnis:

\(P(A)=\frac {6}{10} \cdot \frac {5}{9} \cdot \frac {4}{8} \cdot \frac {3}{7} \cdot \frac {2}{6}=\frac {6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}=\frac {1}{42}\)




Ich hoffe, ich habe es verständlich erklärt!
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Ich dachte die Frage ist nach den Möglichkeiten (Kombinatorik) und nicht nach den Wahrscheinlichkeiten... Aber dein Rechenweg für die Wahrscheinlichkeit stimmt natürlich.   ─   sabin1712 20.05.2021 um 12:12

Danke für die Antwort. Anhand des Baums kann ich auch super die Möglichkeiten ablesen. Aber wie bekomm ich diese jetzt in den Taschenrechner rein ?   ─   mathetoni 20.05.2021 um 15:23

Du akzeptierst Bäume anscheinend nur, wenn andere sie für dich zeichnen. Gestern habe ich für den Vorschlag noch ein downvote bekommen.   ─   monimust 20.05.2021 um 21:26

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