Kombinatorik

Aufrufe: 427     Aktiv: 11.03.2022 um 23:14
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Hallo, 

ich weiß es ist eine ziemlich einfache Aufgabe, aber wie lautet die Antwort zur folgenden Frage: ,,Von 23 Schülerinnen und Schülern eines Kurses sollen am Ende der Stunde drei den Ordnungsdienst erledigen. Wie viele Kombinationen an SuS sind möglich?''. 

Ich bitte um eine Erklärung. 

 

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1 Antwort
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Überlege wie viele Möglichkeiten es gibt den ersten Ordnungsdienst von den dreien auszuwählen. Bedenk wenn der Schüler/die Schülerin den ersten Ordnungsdienst macht, kann dieser/diese nicht auch noch den zweiten machen kann.

Also wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils für den ersten, dann den zweiten und dann den dritten Ordnungsdienst?Und was musst du dann sinnvollerweise rechnen?
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Punkte: 7.84K

 
Es sollen ja immer dreier Gruppen sein, deswegen denke ich dass man 3! rechnen muss. Kann das sein?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 00:14
Natürlich im ersten Schritt.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 00:14
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Ja vllt ist das etwas missverständlich es gibt nicht drei Ordnungsdienste mit je drei Schülern, sondern wie mikn sagt besteht der Ordnungsdienst aus drei Schülern ... wenn du insgesamt 23 Schüler zur Auswahl hast, gibt es also wie viel Möglichkeiten den ersten von den drei Schülern zu wählen ... und wenn dieser EINE dann bereits gewählt wurde (und nicht nochmal gewählt werden kann), wie viel Möglichkeiten gibt es dann dementsprechend für den zweiten bzw dritten Schüler des Ordnungsdienstes   ─   maqu 11.03.2022 um 01:00
23 zuerst und dann 22?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 01:02
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richtig und für den dritten dann noch wie viel Möglichkeiten? .... und wie rechnest du dann?
   ─   maqu 11.03.2022 um 01:04
23!   ─   mathe5567 11.03.2022 um 01:16
War’s das?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 01:17
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Nein bei $23!$ multiplizierst du zu viele Zahlen miteinander. Es ist \[23!=23\cdot 22\cdot 21 \cdot 20\cdot 19\cdot \ldots \cdot 3\cdot2\cdot 1\] Da du aber nur 3 Schüler von den 23 auswählst, musst du also „nur“ welche drei Zahlen miteinander multiplizieren? 23 mal …?   ─   maqu 11.03.2022 um 07:02
23 mal 3!?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 20:14
Muss man denn teilen aufgrund der doppelten Kombinationen? Ich rate zudem nicht, sondern stelle nur Vermutungen auf.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 20:23
Ich bin jetzt auf den Gedanken gekommen mit einem Binomialkoeffizienten die Aufgabe zu lösen. Ist das sinnvoll?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:26
Mit Vermutungen kommt man schon weiter und das sind lediglich nur Lösungsansätze bzw. Fragen.
Also Schüler/-in 23, 22 und 21 können eine Gruppe bilden, desgleichen Schüler 20,19 und 18 die zweite Gruppe usw. wenn man beachtet, dass ein Schüler nur einmal den Ordnungsdienst übernimmt. Nun stellt sich die Frage, wie ich weiterkomme. Da habe ich eben die Blockade. und wenn ich dividieren muss, dann würde ich sagen durch 3!, da diese doppelt vorkommen.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:32
Die oben genannte Vermutung mit 23 mal 3! kam von maqus Erklärung. Ich habe mir dabei gedacht, dass es 23 Möglichkeiten gibt dreier Gruppen aufzustellen.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:36
Es gibt ja eigentlich nur 7 Möglichkeiten dreier Gruppen aufzustellen (23:3= 7, Rest 2) und dann bleiben zwei Schüler übrig, die den Ordnungsdienst nochmal übernehmen müssen, oder?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:40
Ja, da hast du recht, jedoch wusste ich nicht, dass man seine Gedankengänge noch ausführen muss. Den Binomalkoeffizienten n über k könnte man auch in diesem Zusammenhang nutzen, um auszurücken, wie viele Möglichkeiten an Kombinationen (k) aus einer Menge von 23 Schülern (n) angeordnet werden können. Hier fällt die Division aber weg. Erneute Verwirrung…   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:51
Ja, aber an Beispielen kann ich leider nicht auf die Lösungen kommen. Das ist meine persönliche Weise, wie ich lerne, auch wenn sie nicht korrekt ist. Wie sieht’s denn jetzt mit dem Binomialkoeffizienten aus? Ich möchte jetzt auch nicht allzu lange an dieser Aufgabe hängen bleiben…   ─   mathe5567 11.03.2022 um 22:00
Ich denke es müsste stimmen mit 23 über 3, dann gäbe es insgesamt 1771 Möglichkeiten, was für mich sehr viel klingt. Ich brauche nur eine Bestätigung und die will ich nicht selbst übernehmen, sondern eine erfahrene Person im Mathematikbereich.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 22:03
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Wie cauchy sagt wollte ich dich scheibchenweise zur Lösung bringen indem du die kombinatorischen Gedankengänge dahinter nachvollziehen kannst … zum binomialkoeffizienten, dieser ist wie folgt definiert $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$. Auf $23\cdot 22 \cdot 21$ kommt man durch $\dfrac{n!}{(n-k)!}$, welches durch wegkürzen nun genau \[\dfrac{23!}{(23-3)!}=\dfrac{23!}{20!}=\dfrac{23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}{20\cdot 19\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}=23\cdot 22\cdot 21\]
Die $\dfrac{1}{k!}$ die man zu $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ dazumultipliziert ist wie cauchy erklärt hat das durch $3!$ teilen wegen der kombinatorischen Möglichkeiten innerhalb der Dreiergruppen. Ich hoffe somit wird es für dich nun nachvollziehbar.   ─   maqu 11.03.2022 um 23:14

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