Kombinatorik

Aufrufe: 254     Aktiv: 11.03.2022 um 23:14

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Hallo, 

ich weiß es ist eine ziemlich einfache Aufgabe, aber wie lautet die Antwort zur folgenden Frage: ,,Von 23 Schülerinnen und Schülern eines Kurses sollen am Ende der Stunde drei den Ordnungsdienst erledigen. Wie viele Kombinationen an SuS sind möglich?''. 

Ich bitte um eine Erklärung. 

 

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1 Antwort
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Überlege wie viele Möglichkeiten es gibt den ersten Ordnungsdienst von den dreien auszuwählen. Bedenk wenn der Schüler/die Schülerin den ersten Ordnungsdienst macht, kann dieser/diese nicht auch noch den zweiten machen kann.

Also wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils für den ersten, dann den zweiten und dann den dritten Ordnungsdienst?Und was musst du dann sinnvollerweise rechnen?
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Es sollen ja immer dreier Gruppen sein, deswegen denke ich dass man 3! rechnen muss. Kann das sein?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 00:14

Natürlich im ersten Schritt.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 00:14

Das hat maqu ungünstig formuliert. Der Ordnungsdienst besteht ja aus drei Schülern. Also, Du brauchst 3 Schüler. Wieviele Möglichkeiten gibt es den ersten Schüler auszuwählen? Wieviele danach für den zweiten Schüler, wieviele für den dritten?
  ─   mikn 11.03.2022 um 00:29

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Ja vllt ist das etwas missverständlich es gibt nicht drei Ordnungsdienste mit je drei Schülern, sondern wie mikn sagt besteht der Ordnungsdienst aus drei Schülern ... wenn du insgesamt 23 Schüler zur Auswahl hast, gibt es also wie viel Möglichkeiten den ersten von den drei Schülern zu wählen ... und wenn dieser EINE dann bereits gewählt wurde (und nicht nochmal gewählt werden kann), wie viel Möglichkeiten gibt es dann dementsprechend für den zweiten bzw dritten Schüler des Ordnungsdienstes   ─   maqu 11.03.2022 um 01:00

23 zuerst und dann 22?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 01:02

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richtig und für den dritten dann noch wie viel Möglichkeiten? .... und wie rechnest du dann?
  ─   maqu 11.03.2022 um 01:04

23!   ─   mathe5567 11.03.2022 um 01:16

War’s das?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 01:17

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Nein bei $23!$ multiplizierst du zu viele Zahlen miteinander. Es ist \[23!=23\cdot 22\cdot 21 \cdot 20\cdot 19\cdot \ldots \cdot 3\cdot2\cdot 1\] Da du aber nur 3 Schüler von den 23 auswählst, musst du also „nur“ welche drei Zahlen miteinander multiplizieren? 23 mal …?   ─   maqu 11.03.2022 um 07:02

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Bedenke, dass man auf diese Weise doppelte Kombinationen bekommt, da die Reihenfolge bei der Auswahl des Ordnungsdienstes keine Rolle spielt.   ─   cauchy 11.03.2022 um 11:17

23 mal 3!?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 20:14

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Raten bringt nichts. Du musst es auch verstehen. Ist aber nicht richtig.   ─   cauchy 11.03.2022 um 20:22

Muss man denn teilen aufgrund der doppelten Kombinationen? Ich rate zudem nicht, sondern stelle nur Vermutungen auf.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 20:23

Ich bin jetzt auf den Gedanken gekommen mit einem Binomialkoeffizienten die Aufgabe zu lösen. Ist das sinnvoll?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:26

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Das ist dasselbe wie Raten. :D Es war doch schon ein anderer Ansatz da und dann kommst du mit 23 mal 3, was mit dem vorherigen Ansatz nichts zu tun hat. Das ist Raten oder wahllos Vermutungen aufstellen, ohne sich wirklich Gedanken zu machen. Und damit kommt man natürlich nicht weiter.

Erstmal musst du dir überlegen, wie viele Kombinationen es gibt, wenn man die Reihenfolge beachtet (siehe dazu die Kommentare oben). Und dann musst du dir überlegen, wie man jetzt die Beachtung der Reihenfolge los wird, also wie viele mehrfache Kombinationen es dann eigentlich gibt. Und ja, da muss man dann etwas dividieren.

Es hilft übrigens immer, sowas mal mit kleinen Zahlen durchzuspielen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie das läuft und welche Gesetzmäßigkeit dahintersteckt. Und DANN kann man Vermutungen aufstellen und sie ggf. mathematisch nachweisen.

Edit: Ob das sinnvoll ist, hängt davon ab, was du dir für Gedanken dazu gemacht hast. Warum bist du darauf gekommen? Versuche doch selbst herauszufinden, ob das sinnvoll ist oder nicht. Es muss ja einen Grund geben, warum du darauf kommst. Ansonsten ist es wieder nur geraten. ;)
  ─   cauchy 11.03.2022 um 21:27

Mit Vermutungen kommt man schon weiter und das sind lediglich nur Lösungsansätze bzw. Fragen.
Also Schüler/-in 23, 22 und 21 können eine Gruppe bilden, desgleichen Schüler 20,19 und 18 die zweite Gruppe usw. wenn man beachtet, dass ein Schüler nur einmal den Ordnungsdienst übernimmt. Nun stellt sich die Frage, wie ich weiterkomme. Da habe ich eben die Blockade. und wenn ich dividieren muss, dann würde ich sagen durch 3!, da diese doppelt vorkommen.
  ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:32

Die oben genannte Vermutung mit 23 mal 3! kam von maqus Erklärung. Ich habe mir dabei gedacht, dass es 23 Möglichkeiten gibt dreier Gruppen aufzustellen.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:36

Es gibt ja eigentlich nur 7 Möglichkeiten dreier Gruppen aufzustellen (23:3= 7, Rest 2) und dann bleiben zwei Schüler übrig, die den Ordnungsdienst nochmal übernehmen müssen, oder?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:40

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Achso, ich hatte das ! oben bei !? als Satzzeichen interpretiert. Falsch ist es trotzdem. Und dein letzter Gedankengang ist wieder komplett falsch, weil du nicht berücksichtigst, dass du mit einem Schüler durchaus unterschiedliche Gruppen bilden kannst. Sowohl die Gruppe A B C als auch die Gruppe A B D sind ja beide unterschiedlich, obwohl A und B in beiden Gruppen vertreten sind, was ja erlaubt ist, da es nur um die Kombinationsmöglichkeiten geht.

Vermutungen helfen dann weiter, wenn man auch die Hintergründe erläutert. Wenn man nur eine Vermutung aufstellt, in der Hoffnung, darauf eine positive Antwort zu bekommen, klingt das einfach nach Raten ohne irgendeine Substanz dahinter. Wir wollen den Leuten hier aber helfen und dann ist das natürlich schon hilfreich, wenn man seine Gedankengänge gleich mitliefert, dann kann man nämlich entsprechend eingreifen, wenn man auf dem Holzweg ist. ;)

Die Division durch 3! ist jedenfalls richtig, weil es ja für jede Dreiergruppe 3! Anordnungen gibt und es somit immer dieselbe Gruppe wäre. Das hast du schon richtig erkannt. Und was hat das alles mit dem Binomialkoeffizienten zu tun? Das hast du noch nicht erläutert.
  ─   cauchy 11.03.2022 um 21:46

Ja, da hast du recht, jedoch wusste ich nicht, dass man seine Gedankengänge noch ausführen muss. Den Binomalkoeffizienten n über k könnte man auch in diesem Zusammenhang nutzen, um auszurücken, wie viele Möglichkeiten an Kombinationen (k) aus einer Menge von 23 Schülern (n) angeordnet werden können. Hier fällt die Division aber weg. Erneute Verwirrung…   ─   mathe5567 11.03.2022 um 21:51

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Denke ein Beispiel selbst komplett durch, z.B. 5 Schüler, Ordnungsdienst mit 2. Es ist doch sonst nur eine Raterei. Mit Deiner Methode "....(Zahl), oder?" wirst Du früher oder später auf das richtige Ergebnis treffen ohne auch nur irgendwas verstanden zu haben.
Mathematik ist eine superanschauliche Sache, ein Beispiel ist doch nichts abschreckendes, oder?
  ─   mikn 11.03.2022 um 21:55

Du hast dir die Antwort doch schon selbst gegeben, wenn du weißt, welche Bedeutung der Binomialkoeffizient hat. Lies dir das nochmal genau durch und denk dann nochmal über die Aufgabe nach.   ─   cauchy 11.03.2022 um 21:59

Ja, aber an Beispielen kann ich leider nicht auf die Lösungen kommen. Das ist meine persönliche Weise, wie ich lerne, auch wenn sie nicht korrekt ist. Wie sieht’s denn jetzt mit dem Binomialkoeffizienten aus? Ich möchte jetzt auch nicht allzu lange an dieser Aufgabe hängen bleiben…   ─   mathe5567 11.03.2022 um 22:00

Ich denke es müsste stimmen mit 23 über 3, dann gäbe es insgesamt 1771 Möglichkeiten, was für mich sehr viel klingt. Ich brauche nur eine Bestätigung und die will ich nicht selbst übernehmen, sondern eine erfahrene Person im Mathematikbereich.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 22:03

Och, wenn man Beispiele richtig rechnet, bekommt man ein Gefühl dafür, in welche Richtung es geht. Wenn man aber kein Interesse hat, mehr als 5 Minuten in die Mathematik zu investieren, dann wird das natürlich nichts. Dann rät man halt solange, bis jemand "ja" sagt...

Ja, du hast ja schon gesagt, welche Bedeutung der Binomialkoeffizient hat. Was hat das mit der Aufgabe zu tun?

Edit: Ja, du brauchst hier nur den Binomialkoeffzienten. Die Bedeutung davon, hast du ja selbst schon aufgeschrieben. Und das ist eben genau das, wonach in der Aufgabe gefragt ist. Die Anzahl von Dreiergruppe aus einer Gruppe von 23 Schülern. Und das mag dir viel erscheinen, passt aber.
  ─   cauchy 11.03.2022 um 22:03

Warum muss man so viel darüber diskutieren, ob man jetzt ratet oder nicht. Am Ende gibt man sich die Mühe Lösungsansätze vorzustellen. Ich habe schon gesagt welche Bedeutung der BK hat. Die wäre in dieser Aufgabe zutreffend. Stimmt es oder stimmt es nicht?   ─   mathe5567 11.03.2022 um 22:06

Ja, wenn du doch selbst sagst, dass die Bedeutung in dieser Aufgabe zutreffend ist, dann hast du doch alles, was du brauchst! Ich wollte nur, dass du das selbst noch einmal "erkennst", weil noch unklar war, ob du den Zusammenhang verstanden hast.   ─   cauchy 11.03.2022 um 22:07

Ich habe mehr als 5 Minuten in diese Aufgabe investiert und auch versucht mit dem Beispiel umzugehen, um Rückschlüsse zu ziehen, trotzdem hats nicht geholfen.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 22:08

Ich war mir unsicher, weil Du erwähnt hast, dass man dividieren muss? Im BK gibt es keine Division. Naja, jetzt habe ich nach langem Nachdenken meine Lösung und danke trotzdem für die ausführlichen Antworten und Bereitschaften mir die Aufgabe schrittweise zum Verständnis zu bringen.   ─   mathe5567 11.03.2022 um 22:11

Beim BK gibt es sehr wohl eine Division und da kommt auch der Faktor 3! vor (Definition anschauen)! Da unbekannt war, ob du die Bedeutung des BK kennst, wollte maqu dich über den kombinatorischen Ansatz zur Lösung führen. Dort kommt nämlich genau jene "abbrechende Fakultät" vor dividiert durch 3!.   ─   cauchy 11.03.2022 um 22:28

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Wie cauchy sagt wollte ich dich scheibchenweise zur Lösung bringen indem du die kombinatorischen Gedankengänge dahinter nachvollziehen kannst … zum binomialkoeffizienten, dieser ist wie folgt definiert $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$. Auf $23\cdot 22 \cdot 21$ kommt man durch $\dfrac{n!}{(n-k)!}$, welches durch wegkürzen nun genau \[\dfrac{23!}{(23-3)!}=\dfrac{23!}{20!}=\dfrac{23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}{20\cdot 19\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}=23\cdot 22\cdot 21\]
Die $\dfrac{1}{k!}$ die man zu $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ dazumultipliziert ist wie cauchy erklärt hat das durch $3!$ teilen wegen der kombinatorischen Möglichkeiten innerhalb der Dreiergruppen. Ich hoffe somit wird es für dich nun nachvollziehbar.
  ─   maqu 11.03.2022 um 23:14

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