Rentenbarwert (vorschüssig) mit Zahlungsausfällen - Formel gesucht

Erste Frage Aufrufe: 64     Aktiv: 14.03.2021 um 11:05

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Hallo zusammen,

ich sitze hier an einer Aufgabe und zerbreche mir den Kopf.
Aufgabe ist es, eine Allgemein gültige Rentenbarwertformel auf Basis von R*((q1)/( qn1 *i)) 
für eine Rente aus n Jahren aufzustellen, wenn die erste Rate sofort und alle weiteren im Abstand von je k (k>=2) Jahren gezahlt werden sollen. 

Vielen Dank schon mal 

lg 

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Die obige Formel ist ja entstanden aus : \({R \over q^{n-1} }\sum _{i=0}^{n-1}q^i\).
Dabei ist R die konstante jährliche Rentenzahlung, q=(1+i) mit Zinssatz i.
n ist die Anzahl der Rentenzahlungen. Bei vorschüssiger Rentenzahlung findet die n-te Rentenzahlung nach n-1 Zinsperioden statt.
Deshalb ist der Barwert (BW) des Rentenendwertes (EW): \( BW ={EW \over q^{n-1}}\).
Jetzt soll die Auszahlung nicht jährlich sondern im Abstand von k Jahren erfolgen. Nehmen wir erstmal an k teilt n. (für Proberechnungen ist n=20 gut; dann kann k = 2,4,5,oder 10 sein.
Was passiert:? wenn alle k Jahre ausgezahlt wird, dann gibt es bei Laufzeit n Jahre genau \( {n \over k} =r \) Auszahlungen.
Der Verzinsungsfaktor zwischen den Auszahlungen ändert sich von q auf \(q^k\). Dann ergibt sich als Rentenendwert dieser Zahlungsreihe:
\(EW= (R_r \sum _{i=0}^{r-1} \sum (q^k)^i = R_r*{(q^k)^r -1 \over (q^k)-1 }=R_r{q^n-1 \over q^4-1}\). Für den Barwert folgt dann (Abzinsung n-1) Jahre: \(BW= {EW \over q^{n-1}}\)
Man kann ja mal k=4 annehmen.
Bei jährlicher Zahlung erhält man \(BW(n) ={R_{n} \over q^{n-1}}*{q^n-1 \over q-1}\).
Bei Zahlung in 4-jährigen Abständen erhält man \(BW(k=4)= {R_r \over q^{n-1}}*{(q^4)^r -1 \over (q^4) -1}={R_r \over q^{n-1}}{q^n-1 \over q^4 -1}\).
Vergleicht man die beiden Formel so gilt: wenn der Barwert gleich ist ==> \({R_n \over q^{n-1}} {q^n-1 \over q-1} = {R_r \over q^{n-1}}{q^n-1 \over q^4 -1} \Rightarrow  {R_n \over q-1}= {R_r \over q^4-1} \Rightarrow R_r = R_n{q^4-1 \over q-1}\)
Bei i=10%, dh q=1,1 folgt: \(R_r= R_n*{1,1^4-1 \over 0,1}=R_n*4,641\).
Wenn man die Zinsen mal weglässt dann ist klar, dass die Rente, die nur alle 4 Jahre gezahlt wird, das 4-fache der jährlich gezahlten Rente ist .
Durch den Zinseszins ergibt sich der höhere Rentenbetrag.

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