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Also: Im im Kommentar genannten Link steht es richtig als Eigenschaft - es muss für alle Teilmengen $Y\subset B$ gelten.
Erstmal Vorsicht: Die Urbild-Funktion $f^{-1}$ wie auch die Funktion $f$ ist hier eine Funktion zwischen Teilmengen - nicht zwischen Elementen.
Streng genommen müsste man für das Element $y\in Y$ schreiben $f^{-1}(f(\{y\})=\{y\}$. Mache ich aber vermutlich jetzt auch nicht komplett richtig. Da habe ich jetzt keine Lust, das ganz sauber auszuklamüsern - und nicht die Zeit.
Für die Abbildungen gilt also formal, dass ein Element als einelementige Teilmenge aufgefasst werden muss.
Das Urbild kann mehr Elemente haben als das Bild. Nämlich dann, wenn $f$ nicht injektiv ist und mehrere $a\in A$ auf das gleiche $b\in B$ abgebildet werden.
Gleichzeitig kann es aber auch Elemente in $B$ geben, die kein Urbild in $A$ haben.
Das kann dann bei reellen Zahlen zum Beispiel dann Sinn ergeben, wenn $A$ und $B$ Teilmengen der reellen Zahlen sind und $f$ eine Funktion. Das Urbild eines Elements $b\in B$ unter der Funktion $f$ kann es dann zwar theoretisch geben, es muss aber nicht in $A$ liegen. Dann gehört es nicht zum Urbild, und dieses Element von $B$ fehlt dann in der Menge $f(f^{-1}(\{b\}))$. Zumindest dann, wenn es nicht von einem anderen Element von $A$ auch noch getroffen wird - dann liegt das Urbild nur teilweise in $A$...
Ich denke, die wichtigste Erkenntnis dieser Eigenschaft ist, dass eine Abbildung nicht zwingend surjektiv sein muss, wenn es eine Teilmenge $Y$ gibt, für die $f(f^{-1}(Y))=Y$ gilt - es muss für alle Teilmengen gelten.
Erstmal Vorsicht: Die Urbild-Funktion $f^{-1}$ wie auch die Funktion $f$ ist hier eine Funktion zwischen Teilmengen - nicht zwischen Elementen.
Streng genommen müsste man für das Element $y\in Y$ schreiben $f^{-1}(f(\{y\})=\{y\}$. Mache ich aber vermutlich jetzt auch nicht komplett richtig. Da habe ich jetzt keine Lust, das ganz sauber auszuklamüsern - und nicht die Zeit.
Für die Abbildungen gilt also formal, dass ein Element als einelementige Teilmenge aufgefasst werden muss.
Das Urbild kann mehr Elemente haben als das Bild. Nämlich dann, wenn $f$ nicht injektiv ist und mehrere $a\in A$ auf das gleiche $b\in B$ abgebildet werden.
Gleichzeitig kann es aber auch Elemente in $B$ geben, die kein Urbild in $A$ haben.
Das kann dann bei reellen Zahlen zum Beispiel dann Sinn ergeben, wenn $A$ und $B$ Teilmengen der reellen Zahlen sind und $f$ eine Funktion. Das Urbild eines Elements $b\in B$ unter der Funktion $f$ kann es dann zwar theoretisch geben, es muss aber nicht in $A$ liegen. Dann gehört es nicht zum Urbild, und dieses Element von $B$ fehlt dann in der Menge $f(f^{-1}(\{b\}))$. Zumindest dann, wenn es nicht von einem anderen Element von $A$ auch noch getroffen wird - dann liegt das Urbild nur teilweise in $A$...
Ich denke, die wichtigste Erkenntnis dieser Eigenschaft ist, dass eine Abbildung nicht zwingend surjektiv sein muss, wenn es eine Teilmenge $Y$ gibt, für die $f(f^{-1}(Y))=Y$ gilt - es muss für alle Teilmengen gelten.
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joergwausw
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...Funktion im Sinne von Potenzmenge von B auf Potenzmenge von A. Wenn man das so sieht, dann ist die "Rück"richtung f auch auf einer Teilmenge von A definiert zu denken. Zumindest gibt es bei den Potenzmengen die Möglichkeit, das überhaupt als Funktion zu bezeichnen. Denn sonst kann ja ein Element nicht mehrere Bilder haben... dass das nicht richtig ausgegoren ist, habe ich ja schon geschrieben. Verbesserungen nehme ich gerne.
─
joergwausw
23.10.2021 um 18:05