Moin Andre!

Ich habe an der Aufgabe schon am Mittwoch ein bisschen rumprobiert, bin aber gescheitert und habe sie deshalb aus den Augen verloren. Doch ich habe noch ein wenig rumgeknobelt und habe den Lösungsweg gefunden! Fangen wir an.

Zuerst muss man sich Gedanken über die Symmetrie machen. Da die Grundfläche quadratisch ist und die Kanten der gesamten Pyramide die Länge \(a\) haben, kommt man relativ schnell darauf, dass die Hähe \(h_a\) gegeben ist durch: \(h_a=\dfrac{a}{\sqrt2}\)

Für das Volumen der großen quadratischen Pyramide, welches im allgemeinen gegeben ist durch \(V=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h\), folgt somit also: \(V_a=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h_a=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot \dfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{a^3}{3\cdot \sqrt2}\)

Nun schneiden wir die Pyramide im Abstand \(d\) vom Boden ab. Dabei entsteht ein Sockel der alten Pyramide und oben drauf eine neue, kleinere Pyramide. Die neue Pyramide hat dabei die Höhe \(h_b=h_a-d\). Die beiden Teile, Sockel und die neue Pyramide, sollen dabei das gleiche Volumen haben. Die kleine Pyramide hat somit also die hälfte vom Volumens der großen Anfangspyramide. Es gilt also: \(V_b=\dfrac{V_a}{2}\).

Da wir den Schnitt parallel zum Boden ausgeführt haben, verfügt die kleine Pyramide über die selben Symmetrieeigentschaften wie die große Pyramide. Sie besitzt eine quadratische Grundfläche, und alle ihre Kanten sind gleich lang. Das kann man sich ansonsten auch über Strahlensätze herleiten. Sie hat die neue, unbekannte Kantenlänge \(b\). Aufgrund der Symmtrie können wir uns auch für die kleine Pyramide das Volumen und die Höhe herleiten. Es gilt:\(h_b=\dfrac{b}{\sqrt2}\) und \(V_b=\dfrac{1}{3}\cdot b^2\cdot h_b=\dfrac{b^3}{3\cdot \sqrt{2}}\)

Jetzt müssen wir nur noch alle Formeln zusammen werfen und kommen so an unser gesuchtes \(d\) ran. Wir haben folgende Gleichungen:

\(1.\) \(h_b=h_a-d\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \dfrac{b}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}-d\)

\(2.\) \(V_b=\dfrac{V_a}{2} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \dfrac{b^3}{3\cdot \sqrt{2}}=\dfrac{\frac{a^3}{3\cdot \sqrt2}}{2} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ b^3=\dfrac{a^3}{2}\)

Nun musst du "nur noch" Gleichung \(2\) nach \(b\) umstellen und in Gleichung \(1\) einsetzen. Dann kannst du diese Gleichung nach \(d\) umstellen und wirst sehen, dass du auf die angegebene Formel kommst. Den Teil überlasse ich dir ;) Wenn du dazu, oder zu anderen Teilen der Lösung noch Fragen hast, melde dich gerne!

Grüße

Ich weiss die Lösung ehrlichgesagt auch nicht, obwohl ich mich mit der Pyramide gut auskenne. Mein Tipp: Mache eine Skizze zur Aufgabe und markiere in der Skizze, was du schon weisst.

Hoffe dir hats irgendwas gebracht.

Gruss BrightPhoenix