Ich komme am Ende auf dasselbe, außer dass ich links oben im ersten Vektor eine 6 statt ner 2 habe. Keine Ahnung, wo der Fehler ist.
Ich  habe aber einfacher gerechnet: Das System ist ja entkoppelt, aus den ersten beiden Gleichungen kann man relativ leicht x(t) und y(t) berechnen (Dgl 2. Ordnung für x). Das dann in die dritte eingesetzt ermöglicht die Berechnung von z(t) über Variation der Konstanten.
Ja, die Inverse von A und auch die Potenzreihen brauchst Du nicht, denn z.B. sei \(v_1\) der erste EV, also der zu -2, dann gilt ja \(A\,e_1=v_1\) (e_1 ist erster Standardvektor) und damit \(A^{-1}v_1=e_1\). Damit dann
\(e^{Mt}v_1= A\,e^{Dt}A^{-1}v_1=A\,e^{Dt}e_1=e^{-2t}A\,e_1=e^{-2t}v_1\).

Der Rechenweg sieht korrekt aus. Ich hab nicht jede Rechnung kontrolliert, aber du kannst dich ja selbst davon überzeugen, dass deine Lösung korrekt ist, indem du überprüfst, ob sie das Differentialgleichungssystem löst (das tut sie). Du hast selber schon gemerkt, dass es nicht nötig ist \(A\) und \(A^{-1}\) anzugeben. Außerdem ist es nicht nötig, mit der Determinante zu überprüfen, ob die Eigenvektoren eine Basis bilden, da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten immer linear unabhängig sind.