Wie löse ich dieses Differentialgleichungssystem?

Aufrufe: 58     Aktiv: 09.05.2021 um 20:15

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Hallo Zusammen

Ich müsste folgendes Differentialgleichungssystem lösen und bin mir nicht ganz sicher ob da so funktionniert. Wir haben es zwar in der Vorlesung ähnlich gemacht, jedoch mit einer viel einfacheren Matrix, wodurch wir viele Schritte überspringen konnten, daher wollte ich fragen ob sich jemand kurz Zeit nehmen könnte um das Ganze anzuschauen?

Ah noch kurz, die Matrix umgeschrieben mit \(M=A\cdot diag(-2,3,1)\cdot A^{-1}\) habe ich nicht gebraucht, das merkte ich aber erst später


Vielen Dank
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Student, Punkte: 1.05K

 

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2 Antworten
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Ich komme am Ende auf dasselbe, außer dass ich links oben im ersten Vektor eine 6 statt ner 2 habe. Keine Ahnung, wo der Fehler ist.
Ich  habe aber einfacher gerechnet: Das System ist ja entkoppelt, aus den ersten beiden Gleichungen kann man relativ leicht x(t) und y(t) berechnen (Dgl 2. Ordnung für x). Das dann in die dritte eingesetzt ermöglicht die Berechnung von z(t) über Variation der Konstanten.
Ja, die Inverse von A und auch die Potenzreihen brauchst Du nicht, denn z.B. sei \(v_1\) der erste EV, also der zu -2, dann gilt ja \(A\,e_1=v_1\) (e_1 ist erster Standardvektor) und damit \(A^{-1}v_1=e_1\). Damit dann
\(e^{Mt}v_1= A\,e^{Dt}A^{-1}v_1=A\,e^{Dt}e_1=e^{-2t}A\,e_1=e^{-2t}v_1\).
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Sorry was ich in der letzten Zeile noch nicht sehe ist wie du von \(e^{Dt}\) zu \(e^{-2t}\) kommst.   ─   karate 09.05.2021 um 19:10

\(e^{Dt}=diag (e^{-2t}, e^{-3t}, e^t)\). Multiplizieren mit e_1 ergibt die erste Spalte davon, also \(e^{Dt}e_1=e^{-2t}e_1\). Ok?   ─   mikn 09.05.2021 um 19:17

ah ja blöd habe ich übersehen vielen Dank!   ─   karate 09.05.2021 um 19:20

Hab meinen Rechenfehler gefunden, Deine Lösung stimmt.   ─   mikn 09.05.2021 um 19:37

ah wow hätte nicht gerechnet dass Du dir nochmals so Zeit nimmst wirklich vielen herzlichen Dank!   ─   karate 09.05.2021 um 20:15

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Der Rechenweg sieht korrekt aus. Ich hab nicht jede Rechnung kontrolliert, aber du kannst dich ja selbst davon überzeugen, dass deine Lösung korrekt ist, indem du überprüfst, ob sie das Differentialgleichungssystem löst (das tut sie). Du hast selber schon gemerkt, dass es nicht nötig ist \(A\) und \(A^{-1}\) anzugeben. Außerdem ist es nicht nötig, mit der Determinante zu überprüfen, ob die Eigenvektoren eine Basis bilden, da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten immer linear unabhängig sind.
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Oh vielen Dank!
Noch kurz eine Frage zum \(A\) und \(A^{-1}\), wir haben mal bewiesen dass dann für eine Matrix \(M\) gilt
\(exp(M)=A\cdot diag(e^{\lambda_1},...,e^{\lambda_n})\cdot A^{-1}\) und dann hat man uns gesagt, man kann das brauchen um solche Aufgaben zu lösen. Ist es wahr dass man das dann diese Umformung nur ganz am Schluss, wo man \(exp(Mt)\) berechnet brauchen kann? Wenn ja habe ich dann aber das Gefühl dass dies ja noch länger werden würde oder sehe ich das falsch, gibt es einen anderen Grund wieso man das brauchen könnte?
ah ja das mit den Eigenvektoren habe ich übersehen vielen Dank!
  ─   karate 09.05.2021 um 18:02

Hab ich in meiner Antwort zufällig auch beantwortet.   ─   mikn 09.05.2021 um 18:10

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