Pyramide mit Dreieck als Grundfläche

Aufrufe: 794     Aktiv: 27.10.2020 um 10:50
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Das Dreieck ABC: A(-2/6/3), B(5/6/1), C(8/2/-1)  ist Basis einer Pyramide, deren Spitze der Schnittpunkt der drei Ebenen E1:5x-3y+z=5, E2:x+4y-2z=16 und E3:3x+2y-2z=6

a.) Berechne den Inhalt der Grundfläche und das Volumen der Pyramide.

b.) Berechne die Körperhöhe der Pyramide und den Neigungswinkel der Kante BS gegen die Grundfläche ABC.

Ich habe das Volumen ausgerechnet. Ich finde keine passende Formel für den Inhalt der Grundfläche und komme somit nicht weiter. Ich freue mich über jegliche Hilfe :)

 

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Ich habe es mittlerweile geschafft a auszurechnen aber für b fehlen mir passende Formeln. Weiß jemand die Formel für die Körperhöhe der Pyramide und für den Neigungswinkel der Kante BS gegen die Grundfläche ABC?
Danke im Voraus :)   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 11:14
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1 Antwort
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Körperhöhe der Pyramide: Abstand Punkt-Ebene, also Abstand der Spitze von der Ebene, in der die Grundfläche liegt. Kann man z. B. mit mithilfe der Hesse'schen Normalenform berechnen.

Schnittwinkel Kante/Grundfläche: Schnittwinkel Gerade/Ebene. Also Sinus alpha = ... Die Formel müsstest du eigentlich leicht in der Formelsammlung finden. :-)

Reicht dir das schon? :-)

Ergänzung:

\(sin \alpha = \frac {\vert \vec u \cdot \vec {n} \vert}{\vert \vec u\vert \cdot \vert \vec n \vert}\)

\( \vec u\) ist Richtungsvektor der Geraden

\( \vec n\) ist Normalenvektor der Ebene

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Danke! Ich habe die Höhe berechnet. Aber bei dem Neigungswinkel komme ich nicht weiter   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 16:01
Aber die Formel hast du gefunden? Woran genau klemmt es denn?   ─   andima 26.10.2020 um 16:03
Ich habe im Internet sehr sehr lange nach einer Formel gesucht aber erst nach einer Ewigkeit die richtige gefunden. Ich habe leider kein Formelbuch um nachzusehen und im Internet ist es schwer die passenden zu finden. Aber bei dem Neigungswinkel finde ich nichts brauchbares und komme selber nicht weiter.   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 17:49
Hab es in der Antwort ergänzt. Wundert mich aber, dass du die Formel nirgends findest ... du musst doch ein Schulbuch haben oder ein Skript ... ?   ─   andima 26.10.2020 um 17:56
Danke. Ist n der Normalvektor der Ebene1? Und wie komme ich zu u?   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 19:05
Es geht ja um die Kante BS und die Grundfläche. Also brauchst du den Richtungsvektor u der Geraden, auf der die Punkte B und S liegen, sowie den Normalenvektor der Ebene, in der die Grundfläche ABC liegt. Das ist nicht die Ebene E1. :-)   ─   andima 26.10.2020 um 19:10
Muss ich dazu den Vektor BS ausrechnen ? Ich weiß nicht wirklich wie ich die Ebene ausrechnen soll   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 19:32
Ja, Vektor BS ist Richtungsvektor u. Um die Ebene zu berechnen gehst du am besten den gleichen Weg wie es dir in der anderen Aufgabe gerade erklärt wird. 3 Punkte ABC ... Parametergleichung ... Koordinatengleichung ... dann kann man den Normalenvektor ablesen :-)   ─   andima 26.10.2020 um 19:36
Okay danke. Ich habe jetzt die Parametergleichung aufgestellt. Wie komme ich jetzt zur Koordinatengleichung?   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 19:43
Du bildest zunächst das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) der beiden Spannvektoren der Ebene. Dabei entsteht ein Normalenvektor der Ebene. Das ist dann auch der Vektor, den du zur Winkelberechnung brauchst. Die Koordinatenform brauchen wir dann hier gar nicht weiter aufzustellen.   ─   andima 26.10.2020 um 19:51
Also brauche ich die Parameterform auch nicht? Sind die beiden Spannvektoren A und B? Und das Ergebnis ist dann n oder?   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 19:55
Na ja, direkt braucht man die Parameterform nicht, aber die Spannvektoren sind der allergrößte Teil dieser Form, deshalb ist es nicht verkehrt, diese aufzustellen. Die Spannvektoren sind nicht A und B, sondern z.B. die Vektoren AB und AC. Und das Ergebnis des Kreuzprodukts dieser beiden Vektoren ist dann n.   ─   andima 26.10.2020 um 20:11
Okay danke. Ich habe das ganze jetzt ausgerechnet aber das falsche rausbekommen.   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 20:22
Schade. Aber ohne dass ich es seh, kann ich natürlich nichts dazu sagen. Kannst gern ein Bild von deiner Rechnung hochladen.   ─   andima 26.10.2020 um 20:28
Ich bin neu auf dieser Seite und weiß nicht wie man ein Bild hochlädt.   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 20:36
Tut mir leid aber ich habe mich oben verschrieben. A (-2/-6/3)
Daher habe ich für AB (7/12/-2) und für AC (10/8/-4)   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 20:37
Du kannst deine Frage bearbeiten und irgendwo hast du da dann die Option auch Bilder hinzuzufügen.   ─   andima 26.10.2020 um 20:39
Bei u hab ich -1/3/11. Bei n komm ich auf -8/8/-28. AB ist 7/0/-2 und AC 10/-4/-4   ─   andima 26.10.2020 um 20:53
Dann müsste mit dem korrigierten A der Normalvektor -32/8/-64 sein. Seh jetzt deine Lösung dafür ja nicht mehr :-)   ─   andima 26.10.2020 um 21:42
Ja das habe ich auch rausbekommen und für n eingesetzt und für u habe ich (-1/-3/11) also der Vektor BS   ─   schuelerxyz 27.10.2020 um 09:13
Wenn die Angaben oben stimmen, dann müsste S(4/9/12) sein und BS -1/3/11. Da stimmt dann was mit dem Vorzeichen der 3 nicht.   ─   andima 27.10.2020 um 09:58
Ja habe ich auch schon bemerkt und habe in die Formel n= (-32/8/-64) und u=(-1/3/11) eingesetzt und habe trotzdem ein falsches Ergebnis erhalten   ─   schuelerxyz 27.10.2020 um 10:19
Ich erhalte -51,84 aber es müsste 51,84 rauskommen   ─   schuelerxyz 27.10.2020 um 10:23
Was ist dein Ergebnis? Ich erhalte gerundete 51,84°. Taschenrechner auf Degree eingestellt? Was sind deine Zwischenergebnisse über und unter dem Bruchstrich?   ─   andima 27.10.2020 um 10:29
Da war ich zu langsam mit meinem Kommentar. :-)   ─   andima 27.10.2020 um 10:30
Oben stehen Betragstriche um das Skalarprodukt. Die hast du missachtet. Auch der Zähler muss positiv sein. Was du erhalten hast, ist der Nebenwinkel (allerdings negativ formuliert).   ─   andima 27.10.2020 um 10:32
Oh ich habe die Betragsstriche oben übersehen, danke! Also oben kam bei mir -648 raus aber durch die Betragsstriche kommt oben 648 raus oder?   ─   schuelerxyz 27.10.2020 um 10:39
Genau so ist es :-)   ─   andima 27.10.2020 um 10:39
Vielen Dank!!   ─   schuelerxyz 27.10.2020 um 10:45
Gerne!
Übrigens: Mit den Betragsstrichen in der Formel erhält man immer den Schnittwinkel zwischen den zwei Dingen. Das schreib ich deshalb, weil der Schnittwinkel immer der kleinere der zwei Winkel zwischen zwei Dingen ist, also immer kleiner als 90°. Man sieht ja, wenn man sich zwei Geraden zeichnet, dass es zwei verschiedene Winkel zwischen zwei Geraden gibt. Wie gesagt, den kleineren bezeichnet man als Schnittwinkel. Und genau den Schnittwinkel erhält man, wenn man die Formel mit Betragsstrichen nutzt.
Lässt man die Betragsstriche weg, dann ist der Winkel, den man erhält abhängig von der Richtung der Vektoren, die man eingesetzt hat. Da man da selten drauf achtet, erhält man dann eben manchmal den richtigen und manchmal den Nebenwinkel. Und wenn man den Nebenwinkel erhält, dann zeigt der Taschenrechner diesen als einen negativen Winkel. Also statt -54° hätte man auch 126° angeben können.
Das alles zu verstehen, ist deshalb durchaus wichtig, weil man tatsächlich in einigen Fällen auch mal nicht den Schnittwinkel will, sondern den anderen, größeren. Man muss da also schon mitdenken, wenn man die Formel nutzt! :-)
Aber das nur am Rande :-)   ─   andima 27.10.2020 um 10:50

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