Sinus auflösen ohne Arcsin?

Aufrufe: 115     Aktiv: 27.08.2021 um 11:59

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Hallo,

ich verstehe einen kleinen Schritt von meinem Prof. nicht.
Die ganze Rechnung seht ihr im Anhang.

Wirklich interessant ist eigentlich nur der Schritt, wo ich die Pfeile hingemalt habe. Bzw. das Auflösen der Gleichung da.
Das erste Ergebnis von meinem Prof. erhalte ich auch, indem ich einfach Arcsin anwende und die Gleichung löse. (Den Schritt habe ich mal rechts neben die Rechnung meines Profs. im Kasten geschrieben.

Den Folgenden Schritt (nach X auflösen) verstehe ich auch (habe es für beide Ergebnisse in blau daneben geschrieben).
Das Einzige was ich nicht verstehe ist, wie er von der "Sinusgleichung" auf das zweite Ergebnis kommt (X2). (Der grüne Pfeil mit dem Fragezeichen unten links).
Das Ergebnis ist richtig. Und wenn ich den Graphen zeichnen lasse, dann könnte ich die beiden Stellen auch ablesen. Aber ich darf beim Studium natürlich keinen Graphisch fähigen Taschenrechner benutzen. Und mit Sinus rumknobeln und ausprobieren kann ich auch schlecht.

Wie kann man also auf dieses zweite Ergebnis kommen! 

Ich hoffe jemand hier weiß Rat! Danke schonmal für Eure Bemühungen!




Aufgrund der Antworten hier eine Ergänzung:

Wie rechne ich das ganze beim Cosinus aus?

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Es gilt $\sin(90^\circ - \alpha) = \sin(90^\circ + \alpha)$ und mit $\alpha=30^\circ$ gilt $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(120^\circ)$. Jetzt beide Gradzahlen ins Bogenmaß umrechnen, dann hat mans. 

Bei solchen Aufgaben kann auch eine Skizze am Einheitskreis hilfreich sein. Dann sieht man auch sofort, warum die erste Gleichung meiner Antwort gilt.
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Verstehe. Danke! Für Sinus funktioniert das auch. Allerdings leider nicht für Kosinus. (cos(30) ≠ cos(150)) hast du da auch noch eine Formel für?   ─   3*3=9 27.08.2021 um 09:27

Beim Kosinus wechselt das Vorzeichen.   ─   cauchy 27.08.2021 um 11:59

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Der erste sinus-Wert gehört zu den "besonderen" Werten, die man in der Schule bereits als Winkel auswendig lernt, 0°¡ 30°¡ 45°¡ 60°¡ 90°¡ da sich die mittleren 3 auch über den Satz des Pythagoras herleiten lassen. arcsin geht  notfalls auch mit TR / Tabelle.

Für weitere Werte gilt die Beziehung
$sin{x_2} = sin{(\pi-x_1)}$  und $cos{x_2}=cos{(2\pi-x_1)}$
Das lässt sich am Einheitskreis oder der Kurve herleiten und man merkt es sich sinnvollerweise auswendig. 

Im vorliegenden Fall mit dem ersten Wert $\frac{\pi}{3}$ erhält man so $\frac{3\pi-\pi}{3}= \frac{2\pi}{3}$
Daraus muss dann noch der x-Wert berechnet werden. 
Landet man in der falschen Periode (Minus-Bereich), einfach weitere Periodenlängen ($2\pi$) addieren.
(Bei anderen Periodenlängen wird die Rechnung etwas komplizierter)
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Danke! Aber ich verstehe es irgendwie nicht. Ich habe das ganze mal bei einer zweiten Aufgabe mit Cosinus versucht. Aber da klappt das irgendwie nicht.
Ich habe die Rechnung mal in der Aufgabe/ Frage oben ergänzt. Vielleicht findest du da einen Fehler bei mir?

Bitte recht gründlich/ detailliert erklären.... Bin noch im Vorstudium...
  ─   3*3=9 27.08.2021 um 10:11

Ohne es mir im Detail angesehen zu haben, du rechnest mit dem fertigen x-Wert.
Die Beziehungen oben gelten für sin x bzw. cos x. In deinen Fällen hast du sin (x-c) / cos (x-c), also eine Verschiebung. Ausführlicher als ihr es gemacht habt, könntest du (x-c) durch u substituieren, und dann beide u-Werte ausrechnen (gilt auch für sin(bx) oder cos (b(x-c)), also mit veränderter Periode.
D.h. du merkst dir die Formeln für sin(u) / cos(u), und musst dann anschließend resubstituieren um x herauszubekommen.
oben hatte ich ja mit pi/3 und 2pi/3 gerechnet und nicht mit dem x-Wert.
  ─   monimust 27.08.2021 um 10:27

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