Hallo,

meinst du wie man auf \( z_{1-\frac {\alpha} 2} = -1{,}6449 \) kommt?

Um von einer beliebigen Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu transformieren, rechnet man

$$ Z = \frac {X- \mu} {\sigma} $$

Wenn wir das nach \( X \) umstellen, erhalten wir

$$ X = \sigma \cdot Z + \mu $$

Nun geht es darum, das wir die Grenzen berechen, in denen \(90\%\) aller Werte liegen. Wenn \( 90\% \) im Intervall liegen sollen, dann müssen \( 10\% \) außerhalb liegen. Da die Normalverteilung symmetrisch ist, liegen auf jeder Seite außerhalb des Intervalls \(5\% \) der Werte. 

Das bedeutet, wir wollen das 0,05- und 0,95 Quantil berechnen. Die Standardnormalverteilung können wir aus der Tabelle der Standardnormalverteilung ablesen.

Wir suchen nun die beiden Werte aus der Tabelle, für die die Wahrscheinlichkeit unter \( 5\% \) bzw. über \( 95\% \) liegt. Es gilt

$$ \Phi( 1{,}64) = 0{,}94950 $$

und 

$$ \Phi(1{,}65 ) = 0{,}95053 $$

In der Aufgabe scheinen die noch eine exaktere Tabelle zu haben. Mit der aus Wikipedia müssen uns diese beiden Werte reichen. Wir müssen jetzt runden und gucken welcher Wert näher liegt. 

$$ z_{0{,}95} \approx 1{,}64 $$

Nun gilt durch die Symmetrie

$$ \Phi(-z) = 1 - \Phi(z) $$

also erhalte wir den Wert des 0,05-Quantils durch das negative Vorzeichen

$$ z_{0{,}05} \approx -1{,}64 $$

Falls doch noch etwas unklar ist melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian