Konvergenz einer Folge (mit Sinus)

Aufrufe: 575     Aktiv: 26.07.2020 um 15:33

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Hi, ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:

"Untersuche die Folge \(\sqrt[n]{\sin(\frac{1}{n})}\) auf Konvergenz und bestimme ggf. ihren Grenzwert."

Ich habe mit dem Taschenrechner gezeigt, dass die Folge gegen 1 konvergiert. Mein Ansatz zum händischen Beweis sehe so aus:

Ich weiß, dass für alle rellen Zahlen \(x\) gilt: \(-1\leq\sin x\leq 1\). Also sollte auch \(\sin(\frac{1}{n})\) mit \(n\in\mathbb{N}\) in diesem Intervall liegen. Dann müsste doch auch eigentlich folgende Ungleichheitskette für alle \(n\in\mathbb{N}\) gelten:

\(\sqrt[n]{-1}\) \(\leq\) \(\sqrt[n]{\sin(\frac{1}{n})}\) \(\leq\) \(\sqrt[n]{1}\)

Die beiden äußeren Folgen konvergieren ja dann gegen 1 und nach dem Sandwichkriterium müsste die eingeschlossene Folge dann auch gegen 1 konvergieren, was schließlich zu zeigen war.

Aber ist das tatsächlich richtig so? ^^

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\(\sqrt[n]{-1}\) existiert gar nicht, mindestens nicht für gerade n, daher geht es so nicht. Es ist aber \(\sin \frac1n \ge 0\), aber das hilft hier erstmal nicht.

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Okay, schon mal danke. Hast du vielleicht eine andere Idee, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen könnte?   ─   student201 26.07.2020 um 12:54

Jetzt ja ;-) Wir setzen mal \(x:=\frac1n\), dann suchen wir \(\lim\limits_{x\to 0} (\sin x)^x\). Erstmal umschreiben:\((\sin x)^x\ = e^{x\ln \sin x}\). Wir behandeln nun den Exponenten zweimal mit l'Hospital:
\( \lim\limits_{x\to 0} x\ln \sin x = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln\sin x}{1/x} =
\) l'H \(=\lim\limits_{x\to 0} \frac{-x^2\cos x}{\sin x} = \) l'H\( = \lim\limits_{x\to 0}\frac{-2x\cos x-x^2\sin x}{\cos x} = \lim\limits_{x\to 0} -2x-x^2\frac{\sin x}{\cos x} = 0\). Damit ist dann:
\(\lim\limits_{x\to 0} (\sin x)^x = \lim\limits_{x\to 0} e^{x\ln \sin x} = e^{ \lim\limits_{x\to 0} x\ln \sin x} = e^0 =1\)
  ─   mikn 26.07.2020 um 13:13

Danke! :)   ─   student201 26.07.2020 um 15:33

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