Hi, ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:
"Untersuche die Folge \(\sqrt[n]{\sin(\frac{1}{n})}\) auf Konvergenz und bestimme ggf. ihren Grenzwert."
Ich habe mit dem Taschenrechner gezeigt, dass die Folge gegen 1 konvergiert. Mein Ansatz zum händischen Beweis sehe so aus:
Ich weiß, dass für alle rellen Zahlen \(x\) gilt: \(-1\leq\sin x\leq 1\). Also sollte auch \(\sin(\frac{1}{n})\) mit \(n\in\mathbb{N}\) in diesem Intervall liegen. Dann müsste doch auch eigentlich folgende Ungleichheitskette für alle \(n\in\mathbb{N}\) gelten:
\(\sqrt[n]{-1}\) \(\leq\) \(\sqrt[n]{\sin(\frac{1}{n})}\) \(\leq\) \(\sqrt[n]{1}\)
Die beiden äußeren Folgen konvergieren ja dann gegen 1 und nach dem Sandwichkriterium müsste die eingeschlossene Folge dann auch gegen 1 konvergieren, was schließlich zu zeigen war.
Aber ist das tatsächlich richtig so? ^^
Student, Punkte: 489