Question

Schnittpunkte von zwei Kreisen

Aufrufe: 884 Aktiv: 15.08.2021 um 19:19

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Mittelpunkte M_1 = (0;0) M_2 = (x_M=5/2; y_M=10/3)
Radien = r1=10/3; r2=5/2

Man soll jetzt von den Daten zwei Schnittpunkte herausbekommen, weiß aber nicht wie das geht?!

Danke schonmal im Voraus

Quelle: OMBPlus

EDIT vom 15.08.2021 um 14:26:

Ich habe bei x_1=-2.26 x_2=2.36 und bei y_1=1.798 y_2=-1.665 herausbekommen, ist aber falsch, obwohl ich geprobt habe?! Ich bitte um den richtigen Rechenweg :) Danke. Quelle: OMBPlus

EDIT vom 15.08.2021 um 15:03:

K1: x^2+y^2=25/3 K2: (x-5/2)^2+(y-10/3)^2=25/3 Nach dem Gleichsetzen: -5x-20/3y+625/36=50/3 x=-4/3y+5/36 Nach dem Einsetzen in K1: y^2-2/15-431/144=0 y_1=1.798 y_2=-1.665 Nach dem Einsetzen in x: x_1=-2.26 x_2=2.36

EDIT vom 15.08.2021 um 16:03:

x^2+y^2=100/9 (x-5/2)^2+(y-10/3)^2=25/4 x+4/3y=0 x=-4/3y y^2=4 y_1=2 y_2=-2 x_1=-8/3 x_2=8/3

EDIT vom 15.08.2021 um 16:22:

x^2+y^2=100/9 (x-5/2)^2+(y-10/3)^2=25/4 x+4/3y=0 -5x-20/9+625/36=625/36 x+4/3y=0 x=-4/3y (-4/3y)^2+y^2=100/9 y_1=2 y_2=-2 x_1=-8/3 x_2=8/3

EDIT vom 15.08.2021 um 17:33:

Ich drücke auf Enter und trotzdem kommt keine Lücke^^ K1: x^2+y^2=100/9 K2: (x-5/2)^2+(y-10/3)^2=25/4 Gleichsetzen von K1 und K2: x^2+y^2+x^2-5x+25/4+y^2+20/3y+100/9 <=> -5x-20/3y+625/36=625/36 <=>x=-4/3y Einsetzen in K1: (-4/3y)^2+y^2=100/9 <=> y^2=4 y_1=2 y_2=-2 Einsetzen in x: x_1=-8/3 x_2=8/3

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gefragt 14.08.2021 um 13:04

glassopen18762
Student, Punkte: 30

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2 Antworten

monimust · Answer 1 · 2021-08-14T14:33:30Z

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Kreisgleichung bekannt ?

$(x-x_m)^2+ (y-y_m)^2=r^2$

Aufstellen, erste Gleichung nach y auflösen und in zweite Gleichung einsetzen.,
sollte sich gut vereinfachen lassen, weil 2 mal Radius und Koordinaten übereinstimmen.
Zeichnerisch überprüfen

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geantwortet 14.08.2021 um 14:33

monimust
selbstständig, Punkte: 11.89K

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cauchy · Answer 2 · 2021-08-15T14:52:33Z

Der Rechenweg von monimust ist etwas kompliziert, da man durch Auflösen nach $y$ der ersten Gleichung eine Wurzel mit $x$ enthält. Groß vereinfachen lässt sich das nicht. Was jedoch immer funktioniert, ist folgender Ansatz:

Ausgehend von den oben genannten Kreisgleichungen, subtrahiert man beide Gleichungen voneinander. Dazu musst man zunächst die vorkommenden binomischen Formeln auflösen. Durch die Subtraktion der Gleichungen fallen die Terme $x^2$ und $y^2$ weg und die resultierende Gleichung enthält nur noch $x$ und $y$ (ist also eine Gerade). Auf dieser Geraden, die nach $y$ aufgelöst wird, liegen die Schnittpunkte. Da $y$ jetzt aber nur noch von $x$ und nicht von Wurzeltermen wie im oberen Ansatz abhängt, kann man dieses $y$ ohne größere Mühe in eine der Kreisgleichungen einsetzen und man bekommt so die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Die $y$-Koordinaten erhält man entsprechend durch Einsetzen der $x$-Werte in die zuvor aufgestellte Geradengleichung.