Schnittpunkte von zwei Kreisen

Aufrufe: 182     Aktiv: 15.08.2021 um 19:19

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Mittelpunkte M_1 = (0;0) M_2 = (x_M=5/2; y_M=10/3)
Radien = r1=10/3; r2=5/2

Man soll jetzt von den Daten zwei Schnittpunkte herausbekommen, weiß aber nicht wie das geht?!

Danke schonmal im Voraus

Quelle: OMBPlus

EDIT vom 15.08.2021 um 14:26:

Ich habe bei x_1=-2.26 x_2=2.36 und bei y_1=1.798 y_2=-1.665 herausbekommen, ist aber falsch, obwohl ich geprobt habe?! Ich bitte um den richtigen Rechenweg :) Danke. Quelle: OMBPlus

EDIT vom 15.08.2021 um 15:03:

K1: x^2+y^2=25/3 K2: (x-5/2)^2+(y-10/3)^2=25/3 Nach dem Gleichsetzen: -5x-20/3y+625/36=50/3 x=-4/3y+5/36 Nach dem Einsetzen in K1: y^2-2/15-431/144=0 y_1=1.798 y_2=-1.665 Nach dem Einsetzen in x: x_1=-2.26 x_2=2.36

EDIT vom 15.08.2021 um 16:03:

x^2+y^2=100/9 (x-5/2)^2+(y-10/3)^2=25/4 x+4/3y=0 x=-4/3y y^2=4 y_1=2 y_2=-2 x_1=-8/3 x_2=8/3

EDIT vom 15.08.2021 um 16:22:

x^2+y^2=100/9 (x-5/2)^2+(y-10/3)^2=25/4 x+4/3y=0 -5x-20/9+625/36=625/36 x+4/3y=0 x=-4/3y (-4/3y)^2+y^2=100/9 y_1=2 y_2=-2 x_1=-8/3 x_2=8/3

EDIT vom 15.08.2021 um 17:33:

Ich drücke auf Enter und trotzdem kommt keine Lücke^^ K1: x^2+y^2=100/9 K2: (x-5/2)^2+(y-10/3)^2=25/4 Gleichsetzen von K1 und K2: x^2+y^2+x^2-5x+25/4+y^2+20/3y+100/9 <=> -5x-20/3y+625/36=625/36 <=>x=-4/3y Einsetzen in K1: (-4/3y)^2+y^2=100/9 <=> y^2=4 y_1=2 y_2=-2 Einsetzen in x: x_1=-8/3 x_2=8/3
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Es gibt nicht "den" richtigen Rechenweg. Es gibt viele Möglichkeiten. Vermutlich stimmen Deine Gleichungen nicht, obwohl monimust sie Dir unten hingeschrieben hat. Lade Deine Rechnung hier hoch, dann schauen wir mal, wo ein Fehler ist.   ─   mikn 15.08.2021 um 14:45

Deine Radien sind falsch.   ─   cauchy 15.08.2021 um 15:28

$x+\frac{4}{3}y=0$ kann nicht stimmen. Es sollte etwas ungleich 0 herauskommen. Zudem ist das kein vollständiger Rechenweg. So kann man keine Fehler finden. Mal ganz davon abgesehen, dass es auch recht schwierig zu lesen ist, wenn alles in eine Zeile "geklatscht" wird.   ─   cauchy 15.08.2021 um 16:11

Es fehlt immer noch die halbe Rechnung... und besser lesbar ist es immer noch nicht.   ─   cauchy 15.08.2021 um 16:36

Was auch immer du gemacht hast, gleichgesetzt hast du jedenfalls nichts.   ─   cauchy 15.08.2021 um 19:19
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2 Antworten
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Kreisgleichung bekannt ?

$(x-x_m)^2+ (y-y_m)^2=r^2$

Aufstellen, erste Gleichung nach y auflösen und in zweite Gleichung einsetzen.,
sollte sich gut vereinfachen lassen, weil 2 mal Radius und Koordinaten übereinstimmen. 
Zeichnerisch überprüfen
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Der Rechenweg von monimust ist etwas kompliziert, da man durch Auflösen nach $y$ der ersten Gleichung eine Wurzel mit $x$ enthält. Groß vereinfachen lässt sich das nicht. Was jedoch immer funktioniert, ist folgender Ansatz: 

Ausgehend von den oben genannten Kreisgleichungen, subtrahiert man beide Gleichungen voneinander. Dazu musst man zunächst die vorkommenden binomischen Formeln auflösen. Durch die Subtraktion der Gleichungen fallen die Terme $x^2$ und $y^2$ weg und die resultierende Gleichung enthält nur noch $x$ und $y$ (ist also eine Gerade). Auf dieser Geraden, die nach $y$ aufgelöst wird, liegen die Schnittpunkte. Da $y$ jetzt aber nur noch von $x$ und nicht von Wurzeltermen wie im oberen Ansatz abhängt, kann man dieses $y$ ohne größere Mühe in eine der Kreisgleichungen einsetzen und man bekommt so die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Die $y$-Koordinaten erhält man entsprechend durch Einsetzen der $x$-Werte in die zuvor aufgestellte Geradengleichung.
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