Stetigkeit 2^x

Erste Frage Aufrufe: 869     Aktiv: 13.01.2021 um 08:25
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Wie beweise ich mithilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums die Stetikeit von 2^x? Ich hänge gerade an dem Fall, dass x0 < x. Habe wiefolgt angefangen: |2^x - 2^x0| = ... 

Als Tipp ist gegeben, dass  man etwas ausklammern soll. Ich habe irgendwo gelesen, dass man oBdA delta < 1 wählen kann, sodass x0-1 < x < x0+1.

Bringt das hier was? Also dass ich im ersten Schritt abschätzen kann |2^x - 2^x0| < 2^(x0+1) - 2^x0 = ...?

Vielen Dank im Voraus!

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Punkte: 10

 
Die Lösung hängt stark davon ab, was Ihr verwenden dürft. Wie habt Ihr denn die Funktion \(x\mapsto 2^x\) eingeführt, als Grenzwert von \(2^{q_n}\) mit \((q_n)\subseteq\mathbb{Q}\) und \(\lim_{n\to\infty}q_n=x\), oder mit Hilfe des natürlichen Logarithmus? Kennt Ihr schon die Stetigkeit in \(0\)?   ─   slanack 06.01.2021 um 19:13
Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus. Und die Stetigkeit in 0 haben wir noch nicht bewiesen.   ─   anonym8d80b 07.01.2021 um 13:10
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1 Antwort
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Ich denke, man soll zu gegebenem \(\varepsilon>0\) ein entsprechendes \(\delta\) explizit angeben. Betrachten wir, wie Du schon sagtest, \(x\in(x_0-1,x_0+1)\). Klammere aus: \[|2^x-2^{x_0}|=2^{x_0}|2^{x-x_0}-1|=2^{x_0}|\exp((x-x_0)\log 2)-1|.\] Den Rest kannst Du jetzt mit der Exponentialreihe lösen. Tipp: Zeige zuerst für \(r\in(0,1]\):\[\frac{\mathrm{e}^r-1}{r}\le\mathrm{e}-1.\]

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Bei mir ist \(\log\) der natürliche Logarithmus.   ─   slanack 07.01.2021 um 17:48
Danke schonmal! Ich weiß leider nicht, wie man Antworten beantwortet und Bilder hinzufügt, deshalb habe ich es mal in meinen ursprünglichen Beitrag eingefügt. Geht es so? Wie kann ich das Ganze weiter abschätzen? Oder reicht das schon? (Ich habe mal den Betrag weggelassen, da ja x>x0 sein soll)   ─   anonym8d80b 07.01.2021 um 20:03
Ja, so geht es auch. Du kannst auch einfach den Betrag in \(|x-x_0|\) beibehalten, damit Du keine Fallunterscheidung brauchst. Rechne jetzt noch aus, was \(\delta\) sein muss, damit der letzte Term kleiner oder gleich ein vorgegebenes \(\varepsilon\) ist. Das kannst Du explizit machen und bist fertig, aber vergiss nicht, für \(\delta\) noch das Minimum dieses Wertes und \(1\) zu nehmen.   ─   slanack 07.01.2021 um 22:57
Alles klar besten Dank!!   ─   anonym8d80b 08.01.2021 um 14:17
Eine Frage habe ich doch noch: Warum muss ich diesen oBdA...-Teil einfügen? Bin ich nicht in der Gleichung darüber schon fertig, es kommen ja nur noch delta und x0 vor? Und das kann ich ja schon gegen epsilon abschätzen und nach delta umformen oder?   ─   anonym8d80b 08.01.2021 um 14:49
Die Ungleichung für \(\mathrm{e}^x-1\) gilt ja nur für \(x\in(0,1]\). Darum muss man von vornherein \(\delta\) klein genug wählen, genauer: kleiner als \(\frac{1}{\log 2}\). Das ist für \(\delta\le1\) erfüllt, da \(\log 2<1\) gilt.   ─   slanack 08.01.2021 um 19:14
Okay. Dankeschön!   ─   anonym8d80b 13.01.2021 um 08:25

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