Dein Ergebnis ist korrekt. Der Beweis dafür ist allerdings nicht lückenlos. Denn wenn \(a_n\) der komplizierte Ausdruck in Deinem Kommentar ist, und von unten gegen 1 konvergiert, heißt das noch nicht, dass \(a_n^n\) gegen 0 konvergiert.

Die Stirling-Formel lautet ja mehr oder weniger
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi n} } \cdot \frac{n!\, e^n} {n^n} = 1\)
Durch Kehrwertbildung folgt
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{2\pi n} \cdot \frac{ n^n} {n!\, e^n} = 1\).
Da \( \displaystyle \sqrt{2\pi n} \) gegen unendlich geht, muss \(\displaystyle \frac{ n^n} {n!\, e^n}\) gegen 0 gehen.