Wie bestimmt man ob eine Funktion injektiv bzw. surjektiv ist

Aufrufe: 490     Aktiv: 07.02.2021 um 16:54
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Gegeben sei die Funktion:




Jezt soll ich bestimmen ob die Funktion surjektiv bzw. injektiv ist. Leider habe ich kein Ansatz,ich kann die "einfachen" bestimmen, wenn man einfach so per definition von surjektivität bzw. injektivität. Aber hier wenn man eine fallunterscheidung hat komme ich nicht weiter.Gibts da so eine Formel oder einfach ein allgemeiner Ansatz.Wie handelt man sollche Aufgaben?


Danke im voraus!
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Es gibt keinen allgemeinen Ansatz, fast immer hilft es aber, sich den Graph der Funktion anzuschauen. So kann man oft herausfinden, was man überhaupt zeigen will.
Für die Surjektivität überprüfe für \(y\neq1\), ob \(\frac{x+1}{x-2}=y\) eine Lösung hat. Für die Injektivität prüfe, ob es Lösungen zu \(\frac{x+1}{x-2}=1\) und \(\frac{x+1}{x-2}=\frac{y+1}{y-2},\ x\neq y\) gibt.
Alternativ kannst du auch eine Umkehrfunktion angeben und zeigen, ob es tatsächlich eine Umkehrfunktion ist.
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Okay danke fur den hinweis,allerdings muss ich noch fragen, was ist mein y? Einfach ein beliebiger wert denn ich einsetzen soll?   ─   arhzz1 04.02.2021 um 23:50
Ja, beliebig, denn z.B. bei der Surjektivität willst du ja zeigen, dass jedes \(y\in\mathbb R\) ein Urbild hat, also dass es für jedes \(y\) ein \(x\) gibt mit \(f(x)=y\). Also kannst du \(y\) nicht fest wählen.   ─   stal 05.02.2021 um 09:10
Wenn man sich den Graphen anschaut, erkennt man, dass die Funktion injektiv ist, weil kein Funktionswert doppelt vorkommt,
und surjektiv ist, weil jede reelle Zahl als Funktionswert angenommen wird, also auch die 1 durch die Erweiterung f(2)=1
das ist natürlich noch kein Beweis   ─   gerdware 05.02.2021 um 10:42
Okay also ich hab probiert ein beliebiges wert als y zu wahlen aber ich denk ich mach es falsch.Also wenn ich y = 3 und dann habe ich das; x+1/x-2 = 3 und wenn ich jetzt ein x herausfinden will bekomme ich ein aber wenn ich es zuruck in das bruch einsetze bekomme ich nicht 3.Habt ihr gemaint das ich es so machen muss?
   ─   arhzz1 06.02.2021 um 23:30
Nein, du darst das \(y\) nicht wählen. Du schreibst \(\frac{x+1}{x-2}=y\) und löst nach \(x\) auf. Wenn das immer möglich ist, ist die Funktion surjektiv.   ─   stal 07.02.2021 um 11:53
Ach sooo, okay danke ich probier es erneut.   ─   arhzz1 07.02.2021 um 14:05
Okay ich habe es nach x aufgelost und bekomme das; \( x = \frac {2y+1} {y-1} \)Also ist jetzt die funktion surjektiv?   ─   arhzz1 07.02.2021 um 16:13
Ja   ─   stal 07.02.2021 um 16:45
Vielen Dank!   ─   arhzz1 07.02.2021 um 16:54

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