Untergruppen

Erste Frage Aufrufe: 317     Aktiv: 27.06.2023 um 16:18

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Hallo, folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen: 

Finden Sie alle Untergruppen der zyklischen Drehgruppe (𝑍8 ,∘) . Begründen Sie warum es nur diese gibt. 


Ich komme auf über 20 Untergruppen das kommt mir zu viel vor. 

Wie ist ein vorgehen Untetgruppen zu finden? Wie viele gibt es? 


Vielen Dank für eure Hilfe! 

Katha

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Punkte: 10

 

Wie kommst du auf 20 ? Für jeden Teiler $d$ von $8$ gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $d$. Die jeweilige Gruppe wird erzeugt von $8/d$.   ─   zestysupreme 27.06.2023 um 04:18

Meinst du damit es gibt folgenden Untergruppen:
{id}
{id, d, d^2, d^3, d^4, d^5, d^6,d^7} —> Gruppe selbst
Wie sehen die Untergruppen für jeden Teiler d von 8 exemplarisch aus?

Mein bisheriges vorgehen war, dass ich mir die Verknüpfungstafel (Z8, bzgl. Verkettung) angeschaut habe und die einzelnen Einträge der Diagonale von links oben nach rechts unten durch gegangen bin und geschaut habe welche Elemente ich brauche um eine Untergruppe zu erhalten. Dabei habe ich alle möglichen Kombinationen von d bis d^7 betrachtet inkl. der id.
Dabei habe ich z.B. folgende Untergruppen erhalten:
{id, d, d^2, d^4}
{Id, d, d^3, d^4, d^6}
{Id, d, d^2, d^5}
{Id, d, d^2, 2^4, d^6}
{Id, d, d^2, d^3 d^4, d^6, d^7}
  ─   user8f534e 27.06.2023 um 08:26

$2$ ist ein Teiler von $8$, also gibt es genau eine Untergruppe $H < \mathbb Z_8$ von der Ordnung $2$. Die Untergruppe $H$ wird erzeugt von $4$, also $H = \langle 4\rangle =\{\operatorname{id},4\}$. Und das machst du jetzt für alle anderen Teiler $d$ von $8$.   ─   zestysupreme 27.06.2023 um 16:16
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