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Wenn man nicht weiß, wie man die Gleichheit zweier Mengen zeigen soll, kann man einfach mal versuchen beide Inklusionen zu zeigen. Sei dazu zunächst \(a\in A\) innerer Punkt. Nach Definition ist jetzt \(a\) in einer offenen Menge, womit die Inklusion folgt. Schaffst du die andere Richtung?
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mathejean
Student, Punkte: 10.87K
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Vielen Dank! Die andere Richtung folgt auch praktisch aus der Definition oder? Wenn nun a Element des Schnitts der offenen Teilmengen von A ist, dann existiert per Definition ein r>0, sodass U(a, r) eine Teilmenge aller inneren Punkte ist.
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jonase.gluch
10.03.2022 um 19:08
Kein Schnitt! Wenn \(a\) in der Vereinigung ist gibt es (mindestens) eine offene Menge in der \(a\) ist, jetzt normal weiter argumentieren. Ganz wichtig: wenn du offenen Mengen unendlich oft schneidest, kann es sein, dass es keine offene Menge mehr ist, vielleicht ist dann nur noch ein Element drinnen.
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mathejean
10.03.2022 um 20:15
Super, vielen Dank!
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jonase.gluch
10.03.2022 um 22:28
Der Schnitt aller Mengen {U Teilmenge von Y : U ist offen} (sorry, ich kenne mich mit der LaTex-Darstellung hier nicht aus). ─ jonase.gluch 09.03.2022 um 22:55