Inneres einer Menge

Aufrufe: 1018     Aktiv: 10.03.2022 um 22:28

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Guten Abend,

Kann mir jemand bei diesem Beweis helfen?

Uns wurde gesagt, dass die Aufgabe mit diesen Mengenbeziehungen relativ leicht zu lösen sei, jedoch sehe ich nicht, wie ich das hier anwenden soll?

Vielen Dank im Voraus!


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Student, Punkte: 79

 

Deren Meinung war ich eben auch. In der Vorlesung wurde das Innere einer Menge Y definiert als
Der Schnitt aller Mengen {U Teilmenge von Y : U ist offen} (sorry, ich kenne mich mit der LaTex-Darstellung hier nicht aus).
  ─   jonase.gluch 09.03.2022 um 22:55

Ups, ja genau, es handelt sich um die Vereinigung. Kannst Du mir einen Tipp geben?   ─   jonase.gluch 10.03.2022 um 07:41
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Wenn man nicht weiß, wie man die Gleichheit zweier Mengen zeigen soll, kann man einfach mal versuchen beide Inklusionen zu zeigen. Sei dazu zunächst \(a\in A\) innerer Punkt. Nach Definition ist jetzt \(a\) in einer offenen Menge, womit die Inklusion folgt. Schaffst du die andere Richtung?
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Student, Punkte: 10.87K

 

Vielen Dank! Die andere Richtung folgt auch praktisch aus der Definition oder? Wenn nun a Element des Schnitts der offenen Teilmengen von A ist, dann existiert per Definition ein r>0, sodass U(a, r) eine Teilmenge aller inneren Punkte ist.   ─   jonase.gluch 10.03.2022 um 19:08

Kein Schnitt! Wenn \(a\) in der Vereinigung ist gibt es (mindestens) eine offene Menge in der \(a\) ist, jetzt normal weiter argumentieren. Ganz wichtig: wenn du offenen Mengen unendlich oft schneidest, kann es sein, dass es keine offene Menge mehr ist, vielleicht ist dann nur noch ein Element drinnen.   ─   mathejean 10.03.2022 um 20:15

Super, vielen Dank!   ─   jonase.gluch 10.03.2022 um 22:28

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