Hab nur mal überflogen, daher simple Rechenfehler nicht entdeckt.
Dass man Zeilen (auch zwischendrin) vertauschen darf,und dass die erste Zeile nicht mit einer fehlenden Variable beginnen darf, hast du berücksichtigt,
weiter sehen deine Versuche immer geordneter aus, und darauf kommt es an.
Es ist ein Verfahren, mit dem man einen "dummen" Computer programmieren kann, der "sieht" keine "Gelegenheiten" sondern man muss ihm immer die gleichen Schritte vorgeben.
Jede Gleichung muss zum Schluss einmal mit jeder anderen kombiniert worden sein, und zwar in einer festgelegten Reihenfolge, 
I mit ll, lll, IV,    dann II' mit  III', IV', ...

Ein erster Tipp - der gilt für mehrere der Fotos:

Das Gauß-Verfahren ist eigentlich ein Additions-Verfahren. Natürlich darf man auch Zeilen subtrahieren, aber das ist nach meiner Erfahrung deutlich anfälliger für Fehler.
Denn die passieren bei Dir: -4z - 3z = -7z (und nich -1z), oder -7z - 1z = -8z (und nicht -6z).

Obwohl es mathematisch genau das gleiche ist: Es ist in Bezug auf Fehlerquellen besser, eine Zeile mit einer negativen Zahl zu multiplizieren und dann die Zeilen zu addieren als zu subtrahieren. Es kommen dann weniger negative Zahlen auf einmal (die verteilen sich auf zwei Schritte).

Ansonsten zu den beiden markierten Fragen:
Es ist ein System von Gleichungen.
1) Weil alle Gleichungen gleichberechtig sind, ist die Reihenfolge, in der sie untereinander aufgeschrieben werden, egal.
2) Gleichungen darf man mit Äquivalenzumformungen umformen. So lange auf beiden Seiten das gleiche gemacht wird, geht das. Allerdings verschwindet beim Deinem Schritt mit ":2" der Eintrag in der ersten Spalte (da steht plötzlich eine 0).

Und ich würde erstmal mit Gleichungssystemen üben und danach auf Matrix-Schreibweise umsteigen. Nicht so viel auf einmal!