Dimensionssatz im vektorraum

Aufrufe: 477     Aktiv: 21.01.2023 um 16:42
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dim(v) = dim(Bild(φ)) + dim(kern(φ))

Ich habe gesucht und bekomme immer angezeigt wie man das mit den rang der matrizen und was weiß ich lösen kann, wir haben aber keine matrizen gemacht. kann man irgendwie den dimenstion des bildes und kernes anders bestimmen?

dim(v) ist mir "glaub ich" klar. wenn wir R³ haben dann ist dim(v) = 3👀

und wie man den rest rechnet habe ich nicht die geringste ahnung.

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Student, Punkte: 107

 
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Geht es um den Beweis? Hier kann man zeigen,  dass wenn \((v_1,\ldots, v_r)\) Basis von \(\ker \varphi\) und \((\varphi(v_{r+1}),\ldots, \varphi(v_n))\) Basis von \(\operatorname{Bild}(\varphi)\), dann ist \(v_1,\ldots,  v_n \) Basis von \(V\). Eine Verallgemeinerung davon wurde hier gerfragt: https://www.mathefragen.de/frage/q/15e415fd90/kurze-exakte-folgen/ (\(0 \to \ker(\varphi)\to V\to \operatorname{Bild}(\varphi) \to 0\))
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Student, Punkte: 10.87K

 
Ne die definition steht schon da im skript die checke ich auch nicht ganz aber mir geht es eher mehr um die rechnung.
hätten wir z.B. φ: R² -> R² , φ(x|y) = -2* (x|y)
das ist jetzt bei uns gegeben
ich hab für den kern die rechnung φ(v) = 0 -> -2*(x|y) = 0 und am ende kommt raus das der kern(φ) = 0
und für den Bild φ(x|y) = (w1|w2) und am ende kommt das x = -w1/2 und y = -w2/2 ist
Jetzt zur meiner frage... wie kann ich hier mein dimensionssatz anwenden. langsam hab ich das gefühl ich checke nicht mehr was ein dimension ist

   ─   omran_m765 21.01.2023 um 15:48
Okay in deinem Bsp ist V =R^2, also dim(V)=2. Du hast richtig gerechnet das kern =0, also sagt z.B. Dimensionssatz das dim Bild = 2 ist, also hier ganz R^2. Du sparst dir also Rechnung von Bild   ─   mathejean 21.01.2023 um 15:50
Alles klar, sonst hätte man glaub ich noch die Vektoren des Bildraums auf linear unabhängigkeit überprüfen müssen und dann jenachdem wie viele abhängig sind den dimension angeben gell?
   ─   omran_m765 21.01.2023 um 16:07
Ganz genau!   ─   mathejean 21.01.2023 um 16:42

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