Abschätzung mit Taylorpolynom

Aufrufe: 92     Aktiv: 20.06.2021 um 12:33

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Kann jemand diese Aufgabe lösen? Danke im Vorraus

Bestimmen Sie mit dem Satz von Taylor eine Umgebung U von 0, sodass für alle x ∈ U gilt:
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Es ist $T_4(x)=x-\frac{x^3}6$ das Taylorpolynom zu $f(x)=\sin(x)$ vierten Grades. Folglich gilt für das Restglied $$|f(x)-T_4(x)|=|R_4(x)|=\left|\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^5\right|$$ für ein $\xi\in[0,x]$ bzw. $[x,0]$. Wegen $|f^{(5)}(x)|=|\cos x|\leq 1$ können wir das abschätzen zu $|\frac1{120}x^5|$ und du musst jetzt $x$ so finden, dass dieser Ausdruck zu $\frac1{12}10^{-6}$ wird.
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