Hilfe, Lösung mit Satz von Green

Aufrufe: 146     Aktiv: 21.06.2021 um 20:39

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Wie finde ich die Integralgrenzen heraus ?


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Hallo,

die Integrationsgrenzen werden durch deinen Rand definiert. 

Was ist denn $B$ für eine Menge (wie sieht sie aus)? Wie sieht dann der Rand $C$ aus? Sagen dir Polarkoordinaten etwas?

Grüße Christian
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Handelt es sich bei B um den unteren Bereich des Einheitskreises, wegen <= 1 ?   ─   matherockstar 17.06.2021 um 14:17

Fast, es ist der komplette Einheitskreis.
$$ x^2 +y^2 = r^2 $$
beschreibt immer einen Kreisrand. Wenn wir dann noch alle kleineren Zahlen zulassen, dann haben wir auch alle Punkte innterhalb des Kreises. Also den ganzen Kreis.
Jetzt habe ich es schon gesagt, aber wie sieht dann $C$ aus?
  ─   christian_strack 17.06.2021 um 15:12

doppelintegral von 0->R und von 0->2pi drdphi ?(x & y mit rcosphi & rsinphi ersetzen)   ─   matherockstar 17.06.2021 um 18:41

Ja die Intervallgrenzen sollten so passen. Dein r ist aber sogar gegeben. Wie lautet es?

Kannst du mir einmal die genaue Aufgabenstellung sagen? Dann kann ich es mit wirklicher Sicherheit sagen ob der Rest auch passt.
  ─   christian_strack 18.06.2021 um 14:00

ist R = 1 ? Die Aufgabenstellung lautet: diese Aufgabe mit Satz von Green zu lösen.   ─   matherockstar 18.06.2021 um 16:13

Ah ja sinnlos stand ja im Titel :D sorry.
Ja genau R=1.
Wir stellen erstmal den Integranten auf, den du integrieren möchtest. Dafür musst du die Komponenten deines Vektorfeldes ableiten. Das erste nach $y$ und das zweite nach $x$. Die Summe dieser Ableitungen ist dann dein Integrand. Wie lautet der?
Nun transformieren wir wie du es beschrieben hast. Du musst aber aufpassen, denn $\mathrm dA = r \cdot \mathrm dr \mathrm d \varphi $. Also du musst noch ein $r$ multiplizieren.
Die Grenzen deines Integrals sind dann richtig. Am Ende also nur noch integrieren :)
  ─   christian_strack 18.06.2021 um 16:29

nochmal zusammengefast: doppelintegral von 0->1 & von 0->2pi über -3x^2-3y^2 dxdy, transformiert dann
-3r^2cos^2phi - 3r^2sin^2phi drdphi, richtig ?
  ─   matherockstar 18.06.2021 um 19:52

Ja fast, die angegebenen Grenzen entstehen natürlich erst nach der Transformation.
$$ \iint\limits_C (-3x^2 -3y^2) \ \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int\limits_0^1 \int\limits_0^{2\pi} (-3 r^2 \sin^2\varphi - 3r^2 \cos^2 \varphi ) r \ \mathrm dr \mathrm d\varphi $$
Jetzt gibt es den trigonometrischen Pythagoras
$$ \sin^2 + \cos^2 = 1 $$
daraus folgt dann das Integral
$$ -3 \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^1 r^3 \ \mathrm dr \mathrm d\varphi $$
  ─   christian_strack 20.06.2021 um 13:11

ich hab da noch ein paar Fragen. Warum zuerst das integral von 0->2pi & dann 0->1 ?   ─   matherockstar 20.06.2021 um 15:02

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Ach es kommt auch das selbe raus. Hatte auch einen kleinen Dreher in den Integralgrenzen. Die Verwirrung tut mir Leid.
Aber prinzipiell ist es hier egal ob du zuerst über den Radius oder über den Winkel integrierst. Aber da es nicht immer so ist, macht es schon Sinn zuerst über den Radius und dann über den Winkel zu integrieren, denn ein Koordinatensystem hat eine gewisse Orientierung (im kartesischen ist die erste Koordinaten $x$ usw) und die Polarkoordinaten haben als erste Koordinate den Radius.
  ─   christian_strack 20.06.2021 um 17:20

Danke :)   ─   matherockstar 21.06.2021 um 20:30

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Mit den Kreiskoordinaten \(\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{r\cdot sint\\r\cdot cost}\) erhält man \(\vec v=\pmatrix{y^3\\-x^3}=\pmatrix{-r^3\cdot cos^3t\\r^3\cdot sin^3t}\).  Da der Rand \(R=1\) ist wird: \(\int_0^{2\pi}\pmatrix{-R^3\cdot cos^3t\\R^3\cdot sin^3t}\pmatrix{R\cdot cost\\-R\cdot sint}dt=\int_0^{2\pi}(-cos^4t-sin^4t)dt=-\frac{3\pi}{2}\)
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