Charakteristisches Polynom

Aufrufe: 718     Aktiv: 15.02.2022 um 16:00

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Ich bin etwas verwirrt und glaube, dass ich etwas durcheinanderbringe. Das charakteristische Polynom löst man ja durch \( det ( A-\lambda  \cdot E) =  {P}_{A}  \). Also die Determinante von der Matrix A, wo jetzt statt nur 0en überall \( - \lambda  \) auf der Hauptdiagonalen steht (außer unten rechts "\( - {a}_{n-1} - \lambda  \)").
Nun soll ich nach der letzten Spalte entwickeln. Das heißt doch den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden. Aber irgendwie kommt mir das schon komisch vor, da ich diese Abfolge von Schritten so bisher noch nicht gesehe hatte (also erst \( \lambda \) abziehen und dann den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden).

Oder ist es genau andersherum? Ich entwickle erst und ziehe dann bei den ganzen Matrizen für die Unter-Determinanten einzeln Lambda auf der Hauptdiagonalen ab?


Den ersten Gedanken hatte ich mal fortgeführt: Wenn ich da bei \( - {a}_{0} \) anfange, habe ich ja eine wunderschöne Dreieckmatrix, wo die Determinante \( 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1=1 \) ist. Beim Vorzeichen bin ich mir jetzt nicht ganz sicher. Soll mir die 0 im Index (-1)^0 suggerieren, also +a? Dann aber wieder -a wegen \( "-" {a}_{0} \)? Falls ja, wie ist es dann bei \( - {a}_{n-2}  \) und \( - {a}_{n-1} - \lambda  \)?

Also \( - {a}_{0} \) und \( - {a}_{1} \) würde ich so hinbekommen (das wären die Determinanten 1 und \(- \lambda  \)). Bei den anderen musste ich die Dreiecksform erst wiederherstellen, wo ich letztendlich auch noch eine kleine Unwissenheit bezüglich der "unendlichen?" Matrix hätte.

Aber bevor ich hier noch weiter unwissend herumalbre, würde ich erstmal Feedback zu meinen Gedanken sehr begrüßen.

EDIT vom 14.02.2022 um 23:34:


4x4 Beispiel

EDIT vom 14.02.2022 um 23:58:


4x4 Beispiel aus Aufgabenstellung

EDIT vom 15.02.2022 um 00:34:

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Wenn Du es vorher noch nicht gesehen hast, darfst Du Dich freuen: das ist der Moment, wo Du etwas neues lernst!
Es ist einfach eine Kombination zweier Methoden, die Du einzeln schon kennst. Die Formel für das char. Pol. sagt klar, erst $-\lambda$, dann Determinante. Also ist das geklärt.
Deine weiteren Überlegungen sind gut und richtig. Sinniere jetzt nicht nach, was die Indices bei den a's bedeuten, das ist erstmal egal.
Entwickle brav und sorgfältig nach der letzten Spalte.
Was bei Mathe-Aufgaben oft hilft (aber viel zu wenig gemacht wird): Beispiele ausprobieren. Nimm also mal 4x4, und schreib in die rechte Spalte a,b,c,d (von oben nach unten). Das char. Poly. kann man ausrechnen ohne durcheinander zu kommen. Dann den allgemeinen Fall, oder vorher noch 5x5.
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Ich habe bereits weiter entwickelt und bin insgesamt auf die Determinanten 1, - \( { \lambda } \), \( { \lambda }^{3} \), \( - { \lambda }^{6} \), \( - { \lambda }^{6} \) und \( ? \) gekommen (für \( -{a}_{0} , -{a}_{1} , -{a}_{2} , -{a}_{3} , -{a}_{n-1} , -{a}_{n-2} \)). Bis auf bei den ersten zwei bin ich mir etwas unsicher wegen der "Unendlichkeit". Ich habe nämlich einfach die Form beibehalten (dass man 6 Zeilen und 6 Spalten sieht bzw. nach dem Entwickeln ja nur jeweils 5). Ich habe also für die Errechnung der Determinante nur die 5 "zu sehenden" Faktoren der Hauptdiagonale benutzt. Ich bin mir aber nicht sicher ob bei den "nicht zu sehenden" Werten Werte ungleich 1 dabei sind. Würde es dir helfen, wenn ich meine Rechnungen dazu hochlade?   ─   sreal 14.02.2022 um 23:09

Hm, wenn ich dieses EINE char. Polynom hätte, wäre ich ja fertig und die Aufgabe wäre gelöst. Aber ich hake doch davor schon. Und den Sinn vom 4x4 Beispiel sehe ich nicht ganz, denn das kann ich (ist jetzt trotzdem oben). Mein Problem liegt eben genau bei der Dimension nxn.   ─   sreal 14.02.2022 um 23:34

Ist jetzt so wie du meintest (hoffentlich)   ─   sreal 14.02.2022 um 23:57

Upsi, habe bei -a_3-lamda die falsche Zeile weggestrichen   ─   sreal 15.02.2022 um 00:03

\( {a}_{0} + \lambda {a}_{1} + { \lambda }^{3} {a}_{2} + \lambda^6 {a}_{3} + \lambda ^7 \). Beim dritten Summanden sehe ich keine Fehler. Die Umformung zur Dreiecksform steht da oben drüber.   ─   sreal 15.02.2022 um 00:10

Ich habe auch oben nichts neues hochgeladen. Ich habe jetzt auch nur die Matrix des letzten Summanden geändert (bei mir auf dem Blatt). Da kommt dann die Determinante "-Lamda^6" raus. Und habe dann mein im Kommentar erwähntes Polynom raus. Ich kann es auch nochmal hochladen, nur finde ich keine weiteren Fehler.   ─   sreal 15.02.2022 um 00:31

Ich habe den Fehler gefunden. --> Also \( {a}_{0} + \lambda {a}_{1} + { \lambda }^{2} {a}_{2} + \lambda^3 {a}_{3} + \lambda ^4 \).
Für nxn also: \( {a}_{0} + \lambda {a}_{1} + { \lambda }^{2} {a}_{2} + \lambda^3 {a}_{3} + ... + { \lambda }^{n-1} {a}_{n-1} + \lambda ^n \).

Ich habe das alles jetzt alles nochmal für nxn gemacht. Meine Lösung ist also \( { \lambda }^{n} + \sum_{i=0}^{n-1} \lambda ^i \cdot a_i \).

Die (b) wirkt eigentlich jetzt nicht so schwer, aber ich komm irgendwie nicht drauf. Wäre dankbar über einen Gedankenanstoß
  ─   sreal 15.02.2022 um 01:03

Ja, habe ich auch gemerkt. Bin aber irgendwie zu doof um das gescheit zu formulieren.   ─   sreal 15.02.2022 um 15:34

Alles klar, danke! Nur was erwartest du beim zweiten "...."? Matrix "A" in diesem Fall oder auf was möchtest du da hinaus?   ─   sreal 15.02.2022 um 15:57

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