Ich bin etwas verwirrt und glaube, dass ich etwas durcheinanderbringe. Das charakteristische Polynom löst man ja durch \( det ( A-\lambda  \cdot E) =  {P}_{A}  \). Also die Determinante von der Matrix A, wo jetzt statt nur 0en überall \( - \lambda  \) auf der Hauptdiagonalen steht (außer unten rechts "\( - {a}_{n-1} - \lambda  \)").
Nun soll ich nach der letzten Spalte entwickeln. Das heißt doch den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden. Aber irgendwie kommt mir das schon komisch vor, da ich diese Abfolge von Schritten so bisher noch nicht gesehe hatte (also erst \( \lambda \) abziehen und dann den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden).

Oder ist es genau andersherum? Ich entwickle erst und ziehe dann bei den ganzen Matrizen für die Unter-Determinanten einzeln Lambda auf der Hauptdiagonalen ab?


Den ersten Gedanken hatte ich mal fortgeführt: Wenn ich da bei \( - {a}_{0} \) anfange, habe ich ja eine wunderschöne Dreieckmatrix, wo die Determinante \( 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1=1 \) ist. Beim Vorzeichen bin ich mir jetzt nicht ganz sicher. Soll mir die 0 im Index (-1)^0 suggerieren, also +a? Dann aber wieder -a wegen \( "-" {a}_{0} \)? Falls ja, wie ist es dann bei \( - {a}_{n-2}  \) und \( - {a}_{n-1} - \lambda  \)?

Also \( - {a}_{0} \) und \( - {a}_{1} \) würde ich so hinbekommen (das wären die Determinanten 1 und \(- \lambda  \)). Bei den anderen musste ich die Dreiecksform erst wiederherstellen, wo ich letztendlich auch noch eine kleine Unwissenheit bezüglich der "unendlichen?" Matrix hätte.

Aber bevor ich hier noch weiter unwissend herumalbre, würde ich erstmal Feedback zu meinen Gedanken sehr begrüßen.

EDIT vom 14.02.2022 um 23:34:

4x4 Beispiel

EDIT vom 14.02.2022 um 23:58:

4x4 Beispiel aus Aufgabenstellung

EDIT vom 15.02.2022 um 00:34:

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