Habe hier $z \in \mathbb{C}$ von der Form $z = x+iy$ und soll Real- und Imaginärteil von $\bar z^2 + \frac{1}{z^2}$ bestimmen, dazu hier mein Ansatz:

$$\bar z^2 + \frac{1}{z^2} = \bar z^2 + \frac{\bar z^2}{(x^2+y^2)^2} = (x-iy)^2+ \frac {(x-iy)^2}{(x^2+y^2)^2} $$Substituiere $k = (x^2+y^2)^2$
$$=\frac {(x-iy)^2}{k}+\frac {k(x-iy)^2}{k} = \frac {x^2-2xiy-y^2+kx^2-2kxiy-ky^2}{k}$$
$$= \frac {x^2(1+k)-y^2(1+k)+i(-2(xy+kxy))}{k}$$
$$Re(z)=\frac {x^2(1+k)-y^2(1+k)}{k} = \frac {x^2+x^2k}{k}-\frac {y^2+y^2k}{k}$$
Resubstituiere k:
$$= x^2+ \frac {x^2}{(x^2+y^2)^2}-y+\frac{y^2}{(x^2+y^2)^2}$$
$$= x^2+ (\frac {x}{(x^2+y^2)})^2-y+(\frac{y}{(x^2+y^2)})^2 = Re(z)$$

Ich finde halt das ist ein ziemlich großer Haufen voller Rechnungen und das Ergebnis vom Re(z) wirkt auch irgendwie nicht so schön, wie man sich das eigentlich wünscht. Den Im(z) erspare ich mir mal hier, wegen der Schreibarbeit.
Was ich gerne wissen möchte, ist: Wie kann ich kontrollieren, ob dieses Ergebnis stimmt? Wie kann ich die obrige Rechnung vereinfachen/effizienter gestallten (,weil ich finde, dass da haufenweise Fehlerquellen sind?