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Meine Frage bezieht sich auf folgende Aufgabe:

Mir fehlt bei dieser Gleichung ein wenig der Ansatz aufgrund der Tatsache, dass hier keine konstanten Koeffizienten vorkommen (diese Form haben wir nicht behandelt). Das einzige was mir hier in den Sinn kommt wäre partikuläre Lösungen durch Probieren zu raten (also 2 nötige partikuläre Lösungen aufgrund der 2. Ordnung für die allgemeine Lösung). Dann müsste ich aber mit der Wronski-Determinante für die jeweiligen Lösungskombination prüfen, ob die Lösungen auch wirklich linear unabhängig voneinander sind. Ich habe hier dennoch das Gefühl, dass ich hier etwas Offensichtliches übersehe.. Kann mir jemand helfen?

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Student, Punkte: 58

 

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Das sieht nach einer Aufgabensammlung aus, gehört die wirklich zu Deiner Lehrveranstaltung? Gibt es eine Überschrift zu diesen Aufgaben? Diese (auch Deine vorige Frage) ist für mich nicht-trivial, und wenn keine Antwort kommt, liegt es möglicherweise daran, dass auch den anderen Helfern nichts einfällt.   ─   mikn 21.06.2022 um 18:40

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exp(x)   ─   dragonbaron 21.06.2022 um 20:09

@mikn Ja, es handelt sich um eine Aufgabensammlung von 21 Differentialgleichungen, die ich bis nächste Woche Mittwoch lösen muss, um ein Testat mitschreiben zu dürfen. Eine Überschrift gibt es direkt nicht, aber ein Themenplan, was diese Aufgabensammlung mir vermitteln soll. Die Themen sind: [Differentialgleichungen], [Integrierender Faktor], [Variation der Konstanten] und [Trennung der Variablen]. Ich habe noch nicht alle gelöst, bin aber bisher mit allen klar gekommen außer mit den beiden.
Wegen der vorherigen Frage: ich bin gestern meinem Professor entgegengekommen und habe ihm meinen (gescheiterten) Ansatz mit dem integrierenden Faktor vorgestellt. Nun wusste er aber auch selber nicht wie man die Aufgabe lösen soll und hat grob geschätzt, dass vielleicht die Substitution $z=x/y$ helfen könnte. Dies habe ich vergebens probiert. Ich werde, sollte nochmals so eine Art Aufgabe vorkommen, erstmal keine weitere Frage dazu stellen, damit es für die Helfer übersichtlicher wird.
  ─   user8faafd 21.06.2022 um 21:41

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y=x   ─   scotchwhisky 21.06.2022 um 23:32
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Wenn Dein Prof auch keinen Lösungsweg zur Hand hat, sollte er das nicht als Aufgabe stellen.
Generell, zu Deinen beiden Dgln:
Dgln haben unendlich viele Lösungen. Oft lautet die Aufgabe: "Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Dgl...."
Wenn es nur darum geht, EINE Lösung zu finden (eine der unendlich vielen), dann siehe für diese hier den obigen Kommentar von dragonbaron.
Einfacher ist es zu sehen, dass die konstante Funktion y=0 diese Dgl erfüllt, und auch die aus Deiner vorigen Frage.
Notfalls würde ich das mit diesen Lösungen abgeben.
Du kannst gerne weiter solche Fragen stellen, die sind ja berechtigt und nur deshalb nicht beantwortet, weil uns (bisher) nichts einfällt. Und Du hast ja auch schon einiges versucht.
Der Hinweis (den Du vielleicht gesehen hast), dass nicht soviele unbeantwortete Fragen im Forum herumliegen sollten, wendet sich an diejenigen Frager, die nur fragen, aber nicht in einen Dialog eintreten und sich nicht weiter drum kümmern. Das tust Du ja nicht.
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Lehrer/Professor, Punkte: 25.49K

 

Es kann gut sein, dass diese Aufgaben irgendwie fälschlicherweise reingerutscht sind, was ich sehr stark hoffe (ist ihm schonmal passiert). Darauf werde ich ihn dann wohl morgen erneut aufmerksam machen.
Anhand den von mir zuvor gelösten DGLen hab ich anhand der Musterlösung erkannt, dass mit "lösen der DGL" immer die allgemeine Lösung gemeint ist. Die Aufgabenstellung ist hier wirklich nicht eindeutig. Das $y=0$ beide DGL's löst ist sehr wahrscheinlich eine unerwünschte triviale Lösung (aber so genau schauen die Beauftragten nicht drauf). Durch ein wenig rumprobieren kommt man auf solche Lösungen wie $y=e^x$ (wie von dragonbaron) und, wenn ich richtig sehe auch $y=x$. Nun bleibt nur noch zu hoffen, dass solche DGLen zumindest in einer leicht zu erkennbaren Form im Testat vorkommen..
  ─   user8faafd 21.06.2022 um 23:54

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Ja, default ist eigentlich, dass die allg. Lsg gefragt ist.
Du kannst diese Dgln mit wolframalpha allgemein lösen ("solve ..."), dann kannst Du auch diese speziellen Lösungen ablesen. Es ist aber (für mich zumindest) nicht möglich zu sehen, wie man diese selbst berechnen kann. Dazu gibt es auch software, aber die hab ich nicht zur Verfügung.
  ─   mikn 22.06.2022 um 00:06

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Ein weiterer umständlicher Weg ist die Funktion anhand ihrer Eigenschaften und Polynome zu finden, wobei diese Methode nicht garantiert ist zu funktionieren:
1)Verhalten im Unendlichen: Für x gegen Unendlich ist 1 aus dem Therm (1-x) vernachlässigbar. Löse die Gleichung
2) Multipliziere diese Lösung mit endlichen Polynomen und setze diese in die ursprüngliche Gleichung ein, verschiebe die Summenindexe und erhalte eine rekursive Gleichung für die Koeffizienten
3) Durch das Vorhandensein einer zweiten Ableitung kannst du Bedingungen an die Polynomkoeffizienten stellen und somit nach diesen Auflösen

Dies wird in der Quantenmechanik oft benutzt. Beispielsweise für den harmonischen Oszillator: (Seite 56)

https://www.tu-braunschweig.de/index.php?eID=dumpFile&t=f&f=64275&token=1e70c0bbad070d639c7d00f5e650b0c1391d07dc
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