Das Zeichen = als Teil einer Aussage bedeutet, dass links und rechts das gleiche Objekt steht.
Das Zeichen := als Teil einer Definition bedeutet, dass die auf der linken Seite genannte Bezeichnung definiert wird als das auf der rechten Seite genannte Objekt.

Wenn ich also z.B. $M:=\{2n\;|\;n\in \mathbb{N}\}$ schreibe, bedeutet dies: Ich definiere $M$ als die Menge $\{2n\;|\;n\in\mathbb{N}\}$.
(Dann gilt also insbesondere die Gleichheit zwischen den Mengen $M$ und $\{2n\;|\;n\in\mathbb{N}\}$, in Zeichen $M=\{2n\;|\;n\in \mathbb{N}\}$.)

Den Doppelpunkt bei := kann man auch weglassen, wenn aus dem Kontext klar ist, dass hier eine Menge $M$ definiert wird.
Umgekehrt bei einer gewöhnlichen "Nicht-Definitions-Aussage" macht es natürlich keinen Sinn, := statt = zu verwenden.

$\{2n\;|\;n\in\mathbb{N}\}$ ist übrigens selbst wieder eine Schreibweise.für die Menge $\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x=2n\}$ aller Objekte $x$, die die Gestalt $x=2n$ für (mindestens) ein $n\in\mathbb{N}$ haben.
Mit anderen Worten: $\{2n\;|\;n\in\mathbb{N}\}$ ist die Menge aller geraden natürlichen Zahlen.

Lies es doch mal laut vor, dann merkst Du sofort, was nicht stimmt:
auf der rechten Seite: ... für die gilt...